od Daniel » Nedelja, 20. Januar 2013, 13:27
Evo zasad za a) i c), radio sam ih na osnovu neophodnog (ali ne i dovoljnog) uslova za konvergenciju reda, da njegov opšti član [inlmath]x_n[/inlmath] teži nuli kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath]. Pod a) i c) taj uslov nije ispunjen, pa nema šta dalje da se ispituje, red divergira.
Oko b) moram još da razmislim, budući da je kod njega taj uslov ispunjen, ali pošto to nije dovoljan već samo neophodan uslov za konvergenciju, potrebno je izvršiti još neka ispitivanja.
a) Opšti član ovog reda je
[dispmath]x_n=\frac{1}{n^{\sin n\alpha}}[/dispmath]
Kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath] ni vrednost ni znak [inlmath]\sin n\alpha[/inlmath] nisu određeni. To znači da i u beskonačnosti [inlmath]\sin n\alpha[/inlmath] može biti negativno, a kada je [inlmath]\sin n\alpha[/inlmath] negativno, opšti član se može pisati kao:
[dispmath]x_n=n^{\left|\sin n\alpha\right|}[/dispmath]
iz čega se vidi da opšti član za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] ne teži nuli, pa samim tim nije ispunjen neophodan uslov za konvergenciju reda, pa zaključujemo da red divergira.
c) Ovde je sasvim očigledno da opšti član ne ispunjava uslov [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\cos\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\cos 0=1[/dispmath]
tako da ovaj red takođe divergira.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain