Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA NIZOVI I REDOVI

Konvergencija reda

[inlmath]a_1,\:a_2,\:...\:a_{n-1},\:a_n[/inlmath]

Re: Konvergencija reda

Postod Blazlik » Utorak, 12. Novembar 2013, 19:44

:D a tek mene onda koliko zbunjuju ovakvi zadaci.
Blazlik  OFFLINE
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Konvergencija reda

Postod Blazlik » Ponedeljak, 25. Novembar 2013, 12:59

Evo jos jedan zadatak, da li konvergira ovaj red?
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty\frac{n^n}{2^n}[/dispmath]
Preko Cauchyjevog kriterija dobijem[inlmath]\frac{n}{2}[/inlmath], ali nisam siguran sta dalje :?:
Blazlik  OFFLINE
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Konvergencija reda

Postod Daniel » Ponedeljak, 25. Novembar 2013, 18:08

Pa, to ti je to. :)

Pošto Cauchy kaže, ako [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1[/inlmath] tada red divergira, a ovde si dobio da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{2}[/inlmath], a taj limes je očigledno jednak [inlmath]\infty[/inlmath], znači, veći je od [inlmath]1[/inlmath]. :)

Prema tome, red ne da divergira, već vrtoglavom brzinom juri ka beskonačnosti. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Konvergencija reda

Postod Blazlik » Ponedeljak, 25. Novembar 2013, 19:24

Aha.
A sta ako imam isti takav red samo sto u imeniocu imam [inlmath]2^{n^2}[/inlmath]. Dobije isti razlomak samo [inlmath]\frac{n}{2^n}[/inlmath] :D
Blazlik  OFFLINE
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Konvergencija reda

Postod Daniel » Ponedeljak, 25. Novembar 2013, 19:30

Jeste, a [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}=0[/inlmath] (jer eksponencijalna funkcija brže teži beskonačnosti od stepene, pa u ovom razlomku imenilac brže teži beskonačnosti od brojioca), a pošto je [inlmath]0<1[/inlmath], sledi da ovaj red konvergira.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Konvergencija reda

Postod Blazlik » Ponedeljak, 25. Novembar 2013, 19:32

Moze postupak :?
Blazlik  OFFLINE
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Konvergencija reda

Postod Daniel » Ponedeljak, 25. Novembar 2013, 20:10

[inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{a^n}=0,\;a>1[/inlmath] se uzima kao nešto što je poznato i nije ga u zadacima potrebno dokazivati. Ali, ako te baš zanima dokaz ovog limesa, on glasi ovako:
[dispmath]\frac{n}{a^n}=\frac{n}{\left[1+\left(a-1\right)\right]^n}=\frac{n}{1+\underbrace{{n\choose 1}\left(a-1\right)+{n\choose 2}\left(a-1\right)^2}+\cdots +{n\choose n}\left(a-1\right)^n}<\frac{n}{{n\choose 1}\left(a-1\right)+{n\choose 2}\left(a-1\right)^2}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{\cancel n}{\cancel n\left(a-1\right)+\frac{\cancel n\left(n-1\right)}{2}\left(a-1\right)^2}=\frac{1}{\left(a-1\right)+\frac{n-1}{2}\left(a-1\right)^2}=\frac{1}{a-1}\cdot\frac{1}{1+\frac{n-1}{2}\left(a-1\right)}[/dispmath]
Pošto poslednji izraz teži nuli kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath], samim tim će i izraz [inlmath]\frac{n}{a^n}[/inlmath], za koji je pokazano da je manji od tog izraza, takođe težiti nuli kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Konvergencija reda

Postod blake » Ponedeljak, 16. Decembar 2013, 22:40

Ako imamo red u kojem je opći član [inlmath]a_n=\frac{\sin n}{n^2}[/inlmath] i treba dokazati je li konvergira... Pošto [inlmath]\frac{1}{n^2}[/inlmath] konvergira uvik, ako bude veći od našeg reda (u bilježnici mi piše strogo veće), tj. naš red kao neki podskup ovog razlomka onda smo sigurni da i naš red konvergira, šta smo i napisali...Ali šta ta nejednadžba nebi trebala glasiti:
[dispmath]a_n=\frac{\sin n}{n^2}\le\frac{1}{n^2}[/dispmath]
Jer ako je [inlmath]n[/inlmath] npr. [inlmath]1[/inlmath] onda su izrazi jednaki.

P.S.
Kako to da smo kasnije u drugom zadatku napisali da [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] divergira :?: :yawn: :crazy:
blake  OFFLINE
 
Postovi: 371
Lokacija: Split, Croatia
Zahvalio se: 127 puta
Pohvaljen: 96 puta

  • +1

Re: Konvergencija reda

Postod Daniel » Utorak, 17. Decembar 2013, 07:59

blake je napisao:kao neki podskup ovog razlomka

Razlomak nije skup, pa samim tim ne može imati ni svoj podskup. :) Vežbaj da se izražavaš precizno, i zbog ispita, a i inače...

blake je napisao:Ali šta ta nejednadžba nebi trebala glasiti:
[dispmath]a_n=\frac{\sin n}{n^2}\le\frac{1}{n^2}[/dispmath]
Jer ako je [inlmath]n[/inlmath] npr. [inlmath]1[/inlmath] onda su izrazi jednaki.

Ne, ako je [inlmath]n=1[/inlmath], onda je [inlmath]\frac{\sin n}{n^2}=\frac{\sin 1}{1^2}=\sin 1[/inlmath], a [inlmath]\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}=1[/inlmath], prema tome, ti izrazi nisu jednaki.
Ti izrazi bi bili jednaki samo onda kada bi bilo [inlmath]\sin n=1[/inlmath], a onda bi moralo biti [inlmath]n=\frac{\pi}{2}+2k\pi=\frac{4k+1}{2}\pi[/inlmath], a pošto je [inlmath]\pi[/inlmath] iracionalan broj, sledi da bi moralo i [inlmath]n[/inlmath] biti iracionalno, a [inlmath]n[/inlmath] je prirodan broj [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] kontradikcija [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] prema tome, [inlmath]\sin n<1\quad\Rightarrow\quad\frac{\sin n}{n^2}<\frac{1}{n^2}[/inlmath].

Inače, pošto taj kriterijum upoređivanja važi samo za redove s pozitivnim članovima, a [inlmath]\sum\frac{\sin n}{n^2}[/inlmath] nije red s pozitivnim članovima, jer [inlmath]\sin n[/inlmath] može biti i pozitivno i negativno, ovde bi najpravilnije bilo da se preko kriterijuma upoređivanja prvo dokaže da konvergira red [inlmath]\sum\left|\frac{\sin n}{n^2}\right|[/inlmath], a to znači da red [inlmath]\sum\frac{\sin n}{n^2}[/inlmath] apsolutno konvergira. Pa se onda primeni teorema da iz apsolutne konvergencije nekog reda sledi i njegova konvergencija, čime je onda dokazano da konvergira i red [inlmath]\sum\frac{\sin n}{n^2}[/inlmath].

blake je napisao:P.S.
Kako to da smo kasnije u drugom zadatku napisali da [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] divergira :?: :yawn: :crazy:

Zato što red [inlmath]\sum\frac{1}{n}[/inlmath] jeste divergentan. On, istina, ispunjava neophodan uslov za konvergenciju reda, da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0[/inlmath], ali to je samo neophodan, ali ne i dovoljan uslov da bi red bio konvergentan. Ima onaj štos, da je red [inlmath]\sum\frac{1}{n^p}[/inlmath] (gde je [inlmath]p[/inlmath] realan broj), divergentan ako je [inlmath]p\le 1[/inlmath], a konvergentan je ako je [inlmath]p>1[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Konvergencija reda

Postod blake » Subota, 21. Decembar 2013, 12:37

1.
[dispmath]a_n=\frac{3^n\cdot n!}{n^n}[/dispmath]
S D Alambertovim kriterijem dodjem do [inlmath]\frac{0}{2}[/inlmath] i red konvergira ?

2.
[dispmath]a_n=\cos\frac{1}{\sqrt{n+1}}[/dispmath]
Tu dodjem do [inlmath]\cos 0[/inlmath] kada stavim opci clan u limes kad [inlmath]n[/inlmath] ide u beskonacno :indiffer:
blake  OFFLINE
 
Postovi: 371
Lokacija: Split, Croatia
Zahvalio se: 127 puta
Pohvaljen: 96 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na NIZOVI I REDOVI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 39 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 17:30 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs