blake je napisao:kao neki podskup ovog razlomka
Razlomak nije skup, pa samim tim ne može imati ni svoj podskup.
Vežbaj da se izražavaš precizno, i zbog ispita, a i inače...
blake je napisao:Ali šta ta nejednadžba nebi trebala glasiti:
[dispmath]a_n=\frac{\sin n}{n^2}\le\frac{1}{n^2}[/dispmath]
Jer ako je [inlmath]n[/inlmath] npr. [inlmath]1[/inlmath] onda su izrazi jednaki.
Ne, ako je [inlmath]n=1[/inlmath], onda je [inlmath]\frac{\sin n}{n^2}=\frac{\sin 1}{1^2}=\sin 1[/inlmath], a [inlmath]\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}=1[/inlmath], prema tome, ti izrazi nisu jednaki.
Ti izrazi bi bili jednaki samo onda kada bi bilo [inlmath]\sin n=1[/inlmath], a onda bi moralo biti [inlmath]n=\frac{\pi}{2}+2k\pi=\frac{4k+1}{2}\pi[/inlmath], a pošto je [inlmath]\pi[/inlmath] iracionalan broj, sledi da bi moralo i [inlmath]n[/inlmath] biti iracionalno, a [inlmath]n[/inlmath] je prirodan broj [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] kontradikcija [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] prema tome, [inlmath]\sin n<1\quad\Rightarrow\quad\frac{\sin n}{n^2}<\frac{1}{n^2}[/inlmath].
Inače, pošto taj kriterijum upoređivanja važi samo za redove s pozitivnim članovima, a [inlmath]\sum\frac{\sin n}{n^2}[/inlmath] nije red s pozitivnim članovima, jer [inlmath]\sin n[/inlmath] može biti i pozitivno i negativno, ovde bi najpravilnije bilo da se preko kriterijuma upoređivanja prvo dokaže da konvergira red [inlmath]\sum\left|\frac{\sin n}{n^2}\right|[/inlmath], a to znači da red [inlmath]\sum\frac{\sin n}{n^2}[/inlmath] apsolutno konvergira. Pa se onda primeni teorema da iz apsolutne konvergencije nekog reda sledi i njegova konvergencija, čime je onda dokazano da konvergira i red [inlmath]\sum\frac{\sin n}{n^2}[/inlmath].
blake je napisao:P.S.
Kako to da smo kasnije u drugom zadatku napisali da [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] divergira
Zato što red [inlmath]\sum\frac{1}{n}[/inlmath] jeste divergentan. On, istina, ispunjava neophodan uslov za konvergenciju reda, da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0[/inlmath], ali to je samo neophodan, ali ne i dovoljan uslov da bi red bio konvergentan. Ima onaj štos, da je red [inlmath]\sum\frac{1}{n^p}[/inlmath] (gde je [inlmath]p[/inlmath] realan broj), divergentan ako je [inlmath]p\le 1[/inlmath], a konvergentan je ako je [inlmath]p>1[/inlmath].