Daniel je napisao:eseper je napisao:[inlmath](3)[/inlmath]
[dispmath]\sum\frac{1}{\ln(n!)}[/dispmath]
Nemam trenutno na umu nikakvo pametnije rešenje nego da se primeni isti princip koji je primenjen za red [inlmath]\sum\frac{1}{n\ln n}[/inlmath] u
ovom zadatku.
[dispmath]n!<n^n\quad\Rightarrow\quad\ln\left(n!\right)<\ln\left(n^n\right)=n\ln n\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{\ln\left(n!\right)}>\frac{1}{n\ln n}>\frac{1}{n\log_2n}>\cdots[/dispmath]
i dalje je sve isto kao u pomenutom zadatku, tako da se na kraju pokazuje da red [inlmath]\sum\frac{1}{\ln\left(n!\right)}[/inlmath] divergira.
Ja bih se eto nakon 7 godina od posta nadovezao na ovaj zadatak, nadam se da nije neko drugi vec napisao u drugim postovima
Dakle imamo red:[dispmath]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln{(n!)}}[/dispmath]
Kako vrijedi:
[dispmath]n! < n^n[/dispmath]
[dispmath]\ln{(n!)} < \ln{(n^n)}[/dispmath]
[dispmath]\frac{1}{\ln\left(n!\right)}>\frac{1}{n\ln n}[/dispmath]
Sada cemo da uporedimo dva reda:
[dispmath]\sum\limits_{k=n}^{\infty}\frac{1}{\ln{(n!)}}>\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln{(n)}}[/dispmath]
Predstavimo sada red: [inlmath]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln{(n)}}[/inlmath] u obliku funkcije: [inlmath]f(x)=\frac{1}{x\ln{(x)}}[/inlmath]
Kako je f-ja: [inlmath]f(x)=\frac{1}{x\ln{(x)}}[/inlmath] neprekidna i opadajuća, to možemo primjeniti Integralni kriterij:
[dispmath]\int\limits_2^\infty \frac{1}{x\ln{(x)}}\mathrm dx \Longrightarrow
\left|\begin{matrix}
u=\ln{x} & \mathrm dx=x \mathrm du\\
2 \to \ln{2} & \infty \to \ln{\infty}
\end{matrix}\right |[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow \int\limits_{\ln{2}}^{\ln{\infty}} \frac{1}{u}\mathrm du =\ln{|(u)|}\Big |_{\ln{2}}^{\ln{\infty}}=\ln{(\ln{(\infty)})}-\ln{(\ln{(2)})}=\infty[/dispmath]
Kako nas integral divergira tako divergira i nas red: [inlmath]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln{(n)}}[/inlmath] a samim tim i nas pocetni red:[inlmath]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln{(n!)}}[/inlmath]