MATEMANIJA

u zadatku pise odrediti gran. vrednosti nizova ,jel to znaci da trebam ad racnuma limes kad [inlmath]x[/inlmath] tezi beskonacnosti? kada mi je dato samo [inlmath]a_n[/inlmath]

1)
[dispmath]a_n=\frac{\sin3n}{n}[/dispmath] resenje [inlmath]0[/inlmath] nije mi jasno zasto...i kako ubaciti beskonacno pod sinus
2)
[dispmath]a_n=\frac{1}{n}\cos n^2[/dispmath] isti problem kao sa proslim (resnje [inlmath]0[/inlmath])
3)
[dispmath]a_n=\frac{4^n-5^n}{n^{\frac{3}{2}}+2^n}[/dispmath] sa cim ovde treba da podelim ,sa najvecim stepenom generalno ili najvecim iz imenioca /brojoca?
4)
[dispmath]a_n=n^{\frac{1}{2}}\left((n+3)^{\frac{1}{2}}-n^{\frac{1}{2}}\right)[/dispmath] 5)
[dispmath]a_n=\left(\left(n^2+n\right)^{\frac{1}{2}}-\left(n^2+1\right)^{\frac{1}{2}}\right)[/dispmath] ova 2 zadnja ne mogu da dobijem prava resenja pa me interesuje da li ima neka caka osim dopune do razlike kvadrata?oba su [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] resenje

Odd one out je napisao:1)
[dispmath]a_n=\frac{\sin3n}{n}[/dispmath] resenje [inlmath]0[/inlmath] nije mi jasno zasto...i kako ubaciti beskonacno pod sinus
2)
[dispmath]a_n=\frac{1}{n}\cos n^2[/dispmath] isti problem kao sa proslim (resnje [inlmath]0[/inlmath])

U ova dva slučaja vrednost brojioca i za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] nastavlja da osciluje između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] (jer vrednosti sinusa i kosinusa uvek osciluju između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], čak i kada im argument teži beskonačnosti), dok vrednost imenioca u oba slučaja teži beskonačnosti, pa vrednost svakog od ta dva razlomka teži nuli, kao količnik konačne i beskonačne vrednosti.

Odd one out je napisao:3)
[dispmath]a_n=\frac{4^n-5^n}{n^{\frac{3}{2}}+2^n}[/dispmath] sa cim ovde treba da podelim ,sa najvecim stepenom generalno ili najvecim iz imenioca /brojoca?

Pa isprobaš pa vidiš. Ako bi brojilac i imenilac podelio sa [inlmath]2^n[/inlmath], u imeniocu bi dobio konačnu vrednost, [inlmath]1[/inlmath], dok bi u brojiocu imao izraz oblika [inlmath]\infty-\infty[/inlmath], pa s time ne bi mogao ništa da uradiš. Ako bi brojilac i imenilac delio sa [inlmath]4^n[/inlmath], odnosno sa [inlmath]5^n[/inlmath], u oba slučaja bi u imeniocu dobio izraz koji teži nuli preko pozitivnih vrendosti, dok bi u brojiocu dobio u prvom slučaju izraz koji teži [inlmath]-\infty[/inlmath], a u drugom slučaju [inlmath]-1[/inlmath], što bi u oba slučaja kao graničnu vrednost tog izraza dalo [inlmath]-\infty[/inlmath].

Odd one out je napisao:4)
[dispmath]a_n=n^{\frac{1}{2}}\left((n+3)^{\frac{1}{2}}-n^{\frac{1}{2}}\right)[/dispmath] 5)
[dispmath]a_n=\left(\left(n^2+n\right)^{\frac{1}{2}}-\left(n^2+1\right)^{\frac{1}{2}}\right)[/dispmath] ova 2 zadnja ne mogu da dobijem prava resenja pa me interesuje da li ima neka caka osim dopune do razlike kvadrata?oba su [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] resenje

Ne, za 5. zadatak jeste rešenje [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], ali za 4. zadatak je [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath]. Koja rešenja ti dobiješ? Ako hoćeš, priloži svoj postupak pa ćemo ti naći grešku ukoliko je ima.

uspeo sam peti da resim dobro sad dok sam ga kucao,izgleda da sam zeznuo negde u racunici a u 4 sam dobio [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] ali je u zbirci resenje bilo [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath].

Opšti član niza je dakle [inlmath]a_n=\sqrt{n}\left(\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\right)[/inlmath]. Za [inlmath]n\to\infty[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\right)=\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\right)\cdot\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}[/dispmath][dispmath]=\lim_{n\to\infty}\frac{3\sqrt{n}}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}=\frac{3}{2}[/dispmath]