Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Najveca i najmanja vrednost funkcije – Fonova zbirka

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Najveca i najmanja vrednost funkcije – Fonova zbirka

Postod emi » Sreda, 26. Maj 2021, 11:48

Naci najmanju i najvecu vrednost funkcije [inlmath]f[/inlmath] definisane sa [inlmath]f(x)=\left|x^2-5x+6\right|[/inlmath] na segmentu [inlmath]\left[0,\frac{12}{5}\right][/inlmath].

Rastavila sam na slucajeve po apsolutnoj:
  1. za [inlmath]x\in(-\infty,2]\cup[3,+\infty)[/inlmath], tj. zbog segmenta [inlmath]x\in[0,2][/inlmath], [inlmath]y=x^2-5x+6[/inlmath]
    Nasla sam izvod ove funkcije i dobila sam da je [inlmath]x=\frac{5}{2}[/inlmath], a to ne pripada intervalu, pa sam ovo resenje odbacila
  2. za [inlmath]x\in(2,3)[/inlmath], tj. zbog segmenta [inlmath]x\in\left(2,\frac{12}{5}\right][/inlmath], [inlmath]y=-\left(x^2-5x+6\right)[/inlmath]
    Nasla sam izvod ove funkcije i dobila sam da je [inlmath]x=\frac{5}{2}[/inlmath], sto je tacno (pripada intervalu)
[inlmath]f(0)=6[/inlmath] (maksimum)
[inlmath]f\left(\frac{12}{5}\right)=\frac{6}{25}[/inlmath] (minimum)
[inlmath]f\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{1}{4}[/inlmath]

U resenju zadatka u Fonovoj zbirci su oni napisali ovako:
[inlmath]m=\min f(x)=\min\left\{\color{red}f(0),f(2),f\left(\frac{12}{5}\right)\right\}=\min\left\{\color{red}6,0,\frac{6}{25}\right\}=0\\
m=\max f(x)=\max\left\{\color{red}f(0),f(2),f\left(\frac{12}{5}\right)\right\}=6[/inlmath]
Nije mi jasan ovaj crveni deo. Da li je moj postupak tacan ili sam nesto izostavila?
emi  OFFLINE
 
Postovi: 78
Zahvalio se: 58 puta
Pohvaljen: 54 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Najveca i najmanja vrednost funkcije – Fonova zbirka

Postod Andrej » Četvrtak, 27. Maj 2021, 17:05

Zdravo,
verovatno ti je poznato da kada ispitujemo ekstremne vrednosti neke funkcije na datom segmentu, ubacimo vrednosti koje su date kao granice segmenta (u ovom slucaju [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\frac{12}{5}[/inlmath]). Zbog apsolutne zagrade, zadatak onda mozemo posmatrati kao 2 nove funkcije: [inlmath]y=x^2-5x+6[/inlmath] na segmentu [inlmath][0,2][/inlmath] i [inlmath]y=-x^2+5x-6[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left(2,\frac{12}{5}\right][/inlmath]. U tvom primeru kod prvog dela postupka, trebalo je da u funkciju ubacis i [inlmath]x=2[/inlmath] zato sto je ona granica segmenta (to je ono sto sam spomenuo u prvoj recenici). Ako ubacis [inlmath]x=2[/inlmath] dobices [inlmath]y=0[/inlmath] sto stvarno i jeste minimum ove funkcije. Izvini ako je malo konfuzno, nadam se da ce me neko dopuniti sa nekim jasnijim objasnjenjem.
Andrej  OFFLINE
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Najveca i najmanja vrednost funkcije – Fonova zbirka

Postod emi » Petak, 28. Maj 2021, 22:37

Hvala ti :)
emi  OFFLINE
 
Postovi: 78
Zahvalio se: 58 puta
Pohvaljen: 54 puta

  • +1

Re: Najveca i najmanja vrednost funkcije – Fonova zbirka

Postod Daniel » Utorak, 06. Jul 2021, 14:09

Pre svega, nije potrebno proveravati vrednost funkcije za [inlmath]x=\frac{5}{2}[/inlmath], jer je ta tačka izvan zadatog intervala [inlmath]\left[0,\frac{12}{5}\right][/inlmath] (obeleženog žuto na slici).

grafik apsolutna kvadratna.png
grafik apsolutna kvadratna.png (2.35 KiB) Pogledano 110 puta

Kada se posmatra funkcija na određenom intervalu, kandidati za najveću i najmanju vrednost su granice intervala i tačke lokalnih ekstremuma (videti ove ilustracije).
Pošto, zbog apsolutne zagrade, ova funkcija nije diferencijabilna, tačke lokalnih ekstremuma mogu biti ne samo tačke u kojima je prvi izvod jednak nuli, već i tačke u kojima je prvi izvod nedefinisan (to su tzv. „šiljci“), u ovom slučaju tačke [inlmath]x=2[/inlmath] i [inlmath]x=3[/inlmath], pri čemu samo [inlmath]x=2[/inlmath] pripada posmatranom intervalu.
Teme parabole, tj. tačka [inlmath]x=\frac{5}{2}[/inlmath], jedina tačka u kojoj je prvi izvod nula, kako već napisah gore, ne pripada posmatranom intervalu, tako da nju ne razmatramo.
Dakle, za razmatranje ostaju jedino granice intevala (tačke [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{12}{5}[/inlmath]) i „šiljak“ (tačka [inlmath]x=2[/inlmath]).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8826
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4882 puta
Pohvaljen: 4725 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 23. Oktobar 2021, 00:44 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs