Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Injekcija, surjekcija i bijekcija

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Injekcija, surjekcija i bijekcija

Postod kagejama02 » Sreda, 20. Oktobar 2021, 01:02

Oko sledeceg zadatka mi treba pomoc, mogu da razumem i injekciju i surjekciju ali bijekcija mi nije jasna, niti slucaj kad nije ni injekcija ni surjekcija.

Data je funkcija [inlmath]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/inlmath] definisana sa [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath]. Pokazati da [inlmath]f[/inlmath] nije ni "1-1" ni "na". Odrediti podskupove [inlmath]A,B\subseteq\mathbb{R}[/inlmath] tako da:

a) [inlmath]f\colon A\to\mathbb{R}[/inlmath] bude injekcija, ali ne i surjekcija
b) [inlmath]f\colon\mathbb{R}\to B[/inlmath] bude surjekcija, ali ne i injekcija
c) [inlmath]f\colon A\to B[/inlmath] bude bijekcija i naci inverzno preslikavanje [inlmath]f^{-1}\colon B\to A[/inlmath]

Nisam znao ni da pocnem... Svaka pomoc bi mi znacila
起死回生 - “Wake from death and return to life”
Korisnikov avatar
 
Postovi: 22
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Injekcija, surjekcija i bijekcija

Postod Daniel » Sreda, 20. Oktobar 2021, 10:55

Pogledaj za početak ovu temu (pogotovo grafike, koji bi ti mogli pomoći oko ovog zadatka), pa ako nešto ostane nejasno, slobodno pitaj.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Injekcija, surjekcija i bijekcija

Postod kagejama02 » Sreda, 20. Oktobar 2021, 12:14

Bas sam pogledao tu temu ali, nisam mogao da skontam opet ovo pod a,b,c....
起死回生 - “Wake from death and return to life”
Korisnikov avatar
 
Postovi: 22
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Injekcija, surjekcija i bijekcija

Postod Daniel » Nedelja, 24. Oktobar 2021, 17:14

Očekivao sam se da ćeš se malo i raspisati, da ćeš nešto pokušati... Ne može se baš reći da si se potrudio. :(

Ako bi domen bio ceo skup [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] i kodomen takođe ceo skup [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], funkcija [inlmath]f[/inlmath] ne bi bila ni injekcija ni surjekcija.
Injekcija ne bi bila jer bi za svaku vrednost [inlmath]x[/inlmath] važilo [inlmath]f(x)=f(-x)[/inlmath], tj. svako nenulto [inlmath]x[/inlmath] imalo bi svog parnjaka (tj. [inlmath]-x[/inlmath]) za koje bi funkcija imala istu vrednost kao i za to [inlmath]x[/inlmath].
Surjekcija ne bi bila jer vrednosti funkcije [inlmath]f[/inlmath] ne bi mogle imati negativne vrednosti.

Znači, ako hoćemo da [inlmath]f[/inlmath] bude injekcija, potrebno je da domen ograničimo ili na nenegativne vrednosti, ili na nepozitivne vrednosti. Možemo, dakle, domen ograničiti ili na [inlmath][0,+\infty)[/inlmath] (ili na neki njegov podinterval), ili na [inlmath](-\infty,0][/inlmath] (ili na neki njegov podinterval), ili možemo kombinovati, npr. [inlmath][-3,-2)\cup[0,2]\cup(3,+\infty)[/inlmath]. I to će onda biti injekcija.

Da bi bila surjekcija, potrebno je kodomen ograničiti samo na one vrednosti koje funkcija [inlmath]f[/inlmath] može imati, tj. na [inlmath][0,+\infty)[/inlmath] (ili na neki njegov podinterval).

Bi li umeo sad naći primere za a), b) i c)?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Injekcija, surjekcija i bijekcija

Postod fantomi » Ponedeljak, 20. Decembar 2021, 18:00

Kako da dokažem da je neka funkcija injektivna ili surjektivna? npr. [inlmath]f(x) = x^2[/inlmath], [inlmath]f(x) = x^3[/inlmath] :kojik:
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 21. Decembar 2021, 01:12, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika
fantomi  OFFLINE
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Injekcija, surjekcija i bijekcija

Postod Acim » Ponedeljak, 20. Decembar 2021, 18:45

Prvo skiciraš grafik funkcije [inlmath]x^2[/inlmath]. Potom, kada si nacrtao grafik, povuci horizontalnu liniju u odnosu na grafik. Ako ta linija seče grafik 2 puta (a seče u ovom slučaju), onda ona nije injektivna. Da bi funkcija bila injektivna, sme seći grafik najviše jednom (a i ne mora uopšte), dok ova funkcija jeste sirjektivna, jer kod nje važi pravilo da ta linija sme da seče grafik, tj. mora da ga seče barem 1, a može i više puta.

Ako bi skicirao funkciju [inlmath]x^3[/inlmath], ona bi bila i injektivna i sirjektivna. Injektivna jer ta linija neće nikad seći grafik više od jednom. Za sirjektivnu pretpostavljam da je jasno.

E sad, ovo su sve bili opšti slučajevi. Često se daju kodomeni/domeni, pa se u odnosu na njih gleda.

P.S. Ovo je bio neki moj način kako ja radim, ali opet, možeš i na neki drugi naravno.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

  • +1

Re: Injekcija, surjekcija i bijekcija

Postod Daniel » Utorak, 21. Decembar 2021, 17:17

Acim je napisao:dok ova funkcija jeste sirjektivna, jer kod nje važi pravilo da ta linija sme da seče grafik, tj. mora da ga seče barem 1, a može i više puta.

Ne, funkcija [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath] nije surjekcija, jer da bi bila surjekcija, mora svaka horizontalna linija da seče njen grafik bar u jednoj tački. Horizontalne linije koje su ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose ne seku ovaj grafik, te funkcija nije surjektivna.
Ovo je, naravno, pod pretpostavkom da je kao kodomen zadat skup realnih brojeva ([inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]).

Moram da napomenem da ove horizotalne linije o kojima sam pričao u svom postu služe samo kao neka ilustracija injektivnosti i surjektivnosti, a nikako ne mogu služiti kao formalan dokaz. Da bi se izveo formalan dokaz, mora se i krenuti od formalnih definicija. Formalna definicija za injekciju glasi [inlmath](\forall x_1,x_2\in X)\bigl(x_1\ne x_2\;\Longrightarrow\;f(x_1)\ne f(x_2)\bigr)[/inlmath]
što znači da se ne mogu dve različite vrednosti domena [inlmath]X[/inlmath] preslikavati u istu vrednost funkcije.
U slučaju funkcije [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath] to bi se svelo na tvrdnju
[inlmath](\forall x_1,x_2\in X)\bigl(x_1\ne x_2\;\Longrightarrow\;x_1^2\ne x_2^2\bigr)[/inlmath]
čija se netačnost lako dokazuje kontraprimerom (npr. [inlmath]x_1=-1[/inlmath], [inlmath]x_2=1[/inlmath]).

Slično i za surjekciju, čija formalna definicija glasi
[inlmath](y\in Y)(\exists x\in X)\bigl(f(x)=y\bigr)[/inlmath],
a što znači da se u svaku vrednost kodomena [inlmath]Y[/inlmath] mora preslikavati neka vrednost domena [inlmath]X[/inlmath].



Pošto ovde nemamo bitne podatke šta predstavlja domen a šta kodomen, nego smo pretpostavili da su i domen i kodomen skupovi realnih brojeva, zamoliću @fantomi da ubuduće postavlja kompletne tekstove zadataka, kao što je i naglašeno tačkom 11. Pravilnika. Takođe bih te zamolio da obratiš pažnju i na tačku 6. i na tačku 13.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 50 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 18:17 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs