Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Ispitivanje funkcije – problem s prvim izvodom

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Ispitivanje funkcije – problem s prvim izvodom

Postod Dange7139 » Nedelja, 28. Avgust 2022, 23:45

Zdravo svima,
Imam problem sa ispitivanjem funkcije
[dispmath]f(x)=x\ln\frac{2x}{x+1}[/dispmath] Problem je zapravo monotonost i ekstremne vrednosti.
Ono što dobijam kao prvi izvod je
[dispmath]f'(x)=\ln\frac{2x}{x+1}+\frac{1}{x+1}[/dispmath] ali ni na koji način ne uspevam da odredim nule funkcije prvog izvoda
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ispitivanje funkcije – problem s prvim izvodom

Postod Daniel » Utorak, 30. Avgust 2022, 13:40

Ta jednačina je transcendentna i nije je moguće rešiti analitičkim putem, ali možemo grubo proceniti njena rešenja. Uvedemo prvo smenu,
[inlmath]\frac{2x}{x+1}=t\\
2x=tx+t\\
x(2-t)=t\\
x=\frac{t}{2-t}[/inlmath]
Jednačina tada postaje:
[dispmath]\ln t=-\frac{1}{\frac{t}{2-t}+1}\\
\ln t=-\frac{2-t}{2}\\
\ln t=\frac{t}{2}-1[/dispmath] Ovo je takođe transcendentna jednačina, ali je u mnogo pogodnijem obliku za grafičko predstavljanje. Ako predstavimo na grafiku levu stranu (crveno) i desnu stranu jednačine (plavo), uočićemo da imaju dve presečne tačke, što znači da postoje dva rešenja te jednačine, pri čemu apscisne koordinate presečnih tačaka predstavljaju rešenja jednačine po [inlmath]t[/inlmath]:

logaritamska i linearna funkcija.png
logaritamska i linearna funkcija.png (2.11 KiB) Pogledano 33 puta

Rešenja, dakle, nije moguće tačno odrediti, ali sa grafika se može uočiti da manje rešenje po [inlmath]t[/inlmath] pripada intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], a nakon vraćanja smene ([inlmath]\frac{2x}{x+1}>0[/inlmath] i [inlmath]\frac{2x}{x+1}<1[/inlmath]) dobije se i da odgovarajuće rešenje po [inlmath]x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath].
Drugo rešenje po [inlmath]t[/inlmath] moramo malo da „napipavamo“. Za [inlmath]t=e[/inlmath] dobije se da je leva strana jednačine (koja iznosi [inlmath]1[/inlmath]) veća od desne strane jednačine. Za [inlmath]t=e^2[/inlmath], međutim, dobije se da je leva strana jednačine (koja iznosi [inlmath]2[/inlmath]) ovog puta manja od desne strane. Znači, drugo rešenje po [inlmath]t[/inlmath] mora se nalaziti u intervalu [inlmath]\left(e,e^2\right)[/inlmath], a vraćanjem smene ([inlmath]\frac{2x}{x+1}>e[/inlmath] i [inlmath]\frac{2x}{x+1}<e^2[/inlmath]) dobije se da odgovarajuće rešenje po [inlmath]x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(\frac{e}{2-e},\frac{e^2}{2-e^2}\right)[/inlmath], tj. aproksimativno [inlmath](-3.79,\,-1.37)[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9097
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5022 puta
Pohvaljen: 4857 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 04. Oktobar 2022, 11:36 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs