Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Jednakost funkcija – prvi probni prijemni FON 2020.

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Jednakost funkcija – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod Acim » Ponedeljak, 07. Jun 2021, 22:00

Prvi probni prijemni ispit FON (prva grupa) – 13. jun 2020.
1. zadatak


Za realne funkcije [inlmath]f_1\left(x\right)=2x+3[/inlmath], [inlmath]f_2\left(x\right)=\frac{\left(2x+3\right)^2}{2x+3}[/inlmath], [inlmath]f_3\left(x\right)=\sqrt{\left(2x+3\right)^2}[/inlmath], [inlmath]f_4\left(x\right)=\left(\sqrt{2x+3}\right)^2[/inlmath] važi;
[inlmath]A)\;f_2=f_3\ne f_4\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;f_4=f_1\ne f_2\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;f_1\ne f_3\ne f_4\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;f_1=f_2\ne f_3\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;f_3=f_4\ne f_1[/inlmath]

Domen prve funkcije je skup realnih brojeva tj. [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath], druge da imenilac razlomka bude različit od nule, tj. [inlmath]x\in\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)\cup\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)[/inlmath].
Domen treće funkcije je čitav skup realnih brojeva, jer i da uvrstimo [inlmath]0[/inlmath] ili negativnu vrednost u funkciju, izraz će opet biti pozitivan ili jednak nuli.
Domen četvrte funkcije je da [inlmath]x\ge-\frac{3}{2}[/inlmath].
Prema mome, rešenje je da je [inlmath]f_1=f_3\ne f_4[/inlmath], a zapravo je rešenje pod [inlmath]C[/inlmath].
Gde sam mogao napraviti grešku?
Hvala unapred.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Jednakost funkcija – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod Frank » Ponedeljak, 07. Jun 2021, 22:18

Uporedi kodomene prve i treće funkcije.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 381 puta

  • +1

Re: Jednakost funkcija – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod Vojin » Nedelja, 13. Jun 2021, 04:15

Nisam siguran, ali mislim da prva i treća funkcija nisu iste jer u trećoj kada se oslobodis korena ostaje apsolutna zagrada. Neka me neko ispravi ako gresim.
Vojin  OFFLINE
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Jednakost funkcija – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod Acim » Nedelja, 13. Jun 2021, 09:58

Nisu. Zaboravio sam da ih ispitam detaljnije, tj. potrebno je ubaciti bilo koju negativnu vrednost, npr [inlmath]-1[/inlmath] u prvu i treću f-ju i iz toga vidimo da nisu jednake.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

  • +1

Re: Jednakost funkcija – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod Daniel » Nedelja, 13. Jun 2021, 18:03

Pa, ne baš bilo koju negativnu vrednost. :) Štaviše, ti si baš „ubo“ onu negativnu vrednost za koju su [inlmath]f_1[/inlmath] i [inlmath]f_3[/inlmath] jednake. :)
[dispmath]f_1(-1)=2\cdot(-1)+3=-2+3=1\\
f_3(-1)=\sqrt{\bigl(2\cdot(-1)+3\bigr)^2}=\sqrt{(-2+3)^2}=\sqrt{1^2}=\sqrt1=1\\
\Longrightarrow\quad\underline{f_1(-1)=f_3(-1)}[/dispmath] Dakle, upravo kao što reče Vojin, pošto je po definiciji [inlmath]\sqrt{x^2}=|x|[/inlmath], sledi da je [inlmath]f_3(x)=|2x+3|[/inlmath]. Za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] će se vrednost [inlmath]f_3[/inlmath] razlikovati od vrednosti [inlmath]f_1[/inlmath]? Pa, za one vrednosti za koje [inlmath]|2x+3|[/inlmath] nije jednako [inlmath]2x+3[/inlmath]. A to su, opet, one vrednosti za koje je [inlmath]2x+3[/inlmath] negativno, što je slučaj za [inlmath]x<-\frac{3}{2}[/inlmath]. Vrednost [inlmath]-1[/inlmath] tu ne spada.
Naravno, za potrebe ovog zadatka ništa od ovog nije neophodno određivati, dovoljno je samo upotrebiti [inlmath]\sqrt{x^2}=|x|[/inlmath], ili što Frank reče, uporediti kodomene – kodomen [inlmath]f_1[/inlmath] je [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], dok je kodomen [inlmath]f_3[/inlmath] samo [inlmath]\mathbb{R}^+\cup\{0\}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9321
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5172 puta
Pohvaljen: 4956 puta

Re: Jednakost funkcija – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod Acim » Nedelja, 13. Jun 2021, 18:27

Hvala na zapažanju, ne razmišljam često uopšte. :)
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Jednakost funkcija – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod Miloš » Ponedeljak, 10. Jun 2024, 18:06

* MOD EDIT * Spojene dve teme s istim zadatkom

Za realne funkcije [inlmath]f_1(x)=2x+3[/inlmath], [inlmath]\displaystyle f_2(x)=\frac{(2x+3)^2}{2x+3}[/inlmath], [inlmath]f_3(x)=\sqrt{(2x+3)^2}[/inlmath], [inlmath]f_4(x)=\left(\sqrt{(2x+3)}\right)^2[/inlmath] ovaj zadatak je već radjen ali mi i dalje nije jasno kako važi [inlmath]f_3(x)\ne f_4(x)[/inlmath] jasno mi je da prva funkcija nije jednaka trećoj, ali koja je razlika izmedju definisanosti treće i četvrte ako možemo obe na isti način da zapišemo, i izvučemo istu definisanost, gde grešim?
Miloš  OFFLINE
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +2

Re: Jednakost funkcija – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod jans » Utorak, 11. Jun 2024, 00:37

Funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] i [inlmath]g(x)[/inlmath] su jednake ako imaju isti domen, isti kodomen i ako za svako [inlmath]x[/inlmath] iz domena važi [inlmath]f(x)=g(x)[/inlmath].
Ako bar jedan od uslova nije ispunjen, funkcije nisu jednake.
Takođe treba imati u vidu da ispitujemo realne funkcije, odnosno funkcije kod kojih je argument a takođe i vrednost funkcije realan broj. Prema tome, domen f-je [inlmath]f(x)=\sqrt x[/inlmath] jeste skup realnih nenegativnih brojeva (inače bi vrednost f-je bio kompleksan broj). Ne smemo zaboraviti ni definiciju kvadratnog korena, odnosno činjenicu da vrednost kvadratnog korena ne može da bude negativan broj, pa je zbog toga [inlmath]\sqrt{x^2}=|x|[/inlmath].
Domen funkcije [inlmath]f_3 (x)[/inlmath] je skup svih realnih brojeva (u kvadratnom korenu imamo kvadrat realnog broja a on ne može da bude negativan). Domen f-je [inlmath]f_4(x)[/inlmath] određujemo (treba voditi računa da zagrade određuju redosled izvršavanja operacija, pa će za neke argumente zagrada u korenu imati negativnu vrednost, odnosno koren će biti kompleksan broj) iz uslova [inlmath](2x+3)\ge0[/inlmath], a to nije skup [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath].
(Može to i na sledeći način. Uočimo npr. original [inlmath]−6[/inlmath]. Vrednost jedne od f-ja u tom originalu je [inlmath]f_3(-6)=\sqrt{(-9)^2}=|-9|=9[/inlmath]. Međutim, ako pokušamo da izračunamo vrednost druge f-je u tom originalu, u tom postupku će se pojaviti [inlmath]\sqrt{-9}[/inlmath], a pošto je to kompleksan broj sledi da f-ja [inlmath]f_4(x)[/inlmath] u navedenom originalu nije definisana, a to znači da f-je nemaju isti domen. Ako previdimo ovu činjenicu i nastavimo sa računanjem, "izračunaćemo" nepostojeću vrednost funkcije i dobiti da je [inlmath]f_4(-6)=\left(\sqrt{(-9)}\right)^2=(3i)^2=9i^2=-9[/inlmath], pa je i to na neki način signal da funkcije nisu jednake.)
jans  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 43 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 5 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 22. Jun 2024, 11:49 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs