Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Ispitivanje funkcije s apsolutnim vrednostima

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Ispitivanje funkcije s apsolutnim vrednostima

Postod DaniloJ » Četvrtak, 06. Jun 2024, 13:27

Data je funkcija [inlmath]f(x)=|x+2|e^{-\frac{1}{|x|}}[/inlmath]. Potrebno je:

1. Odrediti konstante [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] tdj. [inlmath]f(x)=ax+b+\frac{c}{x}+\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath] kada [inlmath]x\to\infty\;\land\;x\to-\infty[/inlmath]

2. Ispitati tok i skicirati grafik

3. Ispitati diferencijabilnost

4. Odrediti jednačinu tangente na grafik u tački [inlmath](1,f(1))[/inlmath]

Prvi deo dosta liči na Tejlorov razvoj, ali nemam ideju kako da ga uradim, drugi deo znam u teoriji ali imam nedoumica zbog apsolutnih zagrada, treći deo mi je takođe poznat u teoriji, četvrti deo u životu nisam video.

Ako može pomoć oko ova četiri dela i malo detaljnije objašnjenje kako se rade prvi i četvrti deo. Hvala.
DaniloJ  OFFLINE
 
Postovi: 26
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Ispitivanje funkcije s apsolutnim vrednostima

Postod jans » Petak, 07. Jun 2024, 14:21

Ako iskoristimo osobine apsolutne vrednosti, imajući u vidu da su "kritične tačke" na osi [inlmath]x[/inlmath] brojevi [inlmath]-2[/inlmath] (za prvu apsolutnu vrednost) i [inlmath]0[/inlmath] (za drugu apsolutnu vrednost), datu funkciju možemo zapisati na sledeći način (napominjem da funkcija nije definisana u broju nula)
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
-(x+2)\cdot e^\frac{1}{x}, & x<-2\\
(x+2)\cdot e^\frac{1}{x}, & -2\le x<0\\
(x+2)\cdot e^{-\frac{1}{x}}, & x>0
\end{cases}[/dispmath] 2. Treba ispitati svaku od tri funkcije (na odgovarajućem intervalu), a grafik funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] dobijamo "spajanjem" delova grafika ispitanih funkcija. Skiciramo onaj deo grafika prve funkcije koji je levo od prave [inlmath]x=-2[/inlmath], od druge funkcije uzimamo deo grafika između prave [inlmath]x=-2[/inlmath] i prave [inlmath]x=0[/inlmath], a od grafika treće uzimamo deo koji je desno od prave [inlmath]x=0[/inlmath]. Prvi i drugi deo su "spojeni" tačkom [inlmath](-2,0)[/inlmath] (u toj tački je i minimum funkcije), a drugi i treći deo su "razdvojeni" tačkom [inlmath](0,0)[/inlmath] (granične vrednosti funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] kada [inlmath]x[/inlmath] teži [inlmath]+0[/inlmath], odnosno [inlmath]-0[/inlmath], imaju istu vrednost - nulu, ali u nuli funkcija nije definisana). Funkcija ima dve kose asimptote.
Pretpostavljam da su ove napomene dovoljne. Ako bude potrebno, skiciraću i grafik.
3. Funkcija, iako neprekidna u tački [inlmath](-2,0)[/inlmath], odnosno za [inlmath]x=-2[/inlmath], nije diferencijabilna, zato što levi izvod funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] u broju [inlmath]-2[/inlmath] (možemo ga izračunati tako što u prvi izvod prve funkcije zamenimo vrednost [inlmath]-2[/inlmath]) nije jednak desnom izvodu u broju [inlmath]-2[/inlmath] (možemo ga izračunati tako što u prvi izvod druge funkcije zamenimo vrednost [inlmath]-2[/inlmath]).
4. Pošto je po definiciji prvi izvod [inlmath]f'(x_0)[/inlmath] funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] u broju [inlmath]x_0[/inlmath], jednak koeficijentu pravca tangente grafika funkcije u tački [inlmath](x_0,f(x_0)[/inlmath], korišćenjem formule za jednačinu prave kroz datu tačku, dobijamo da je jednačina tangente krive u toj tački
[dispmath](t)\colon y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)[/dispmath] Zadatke kao što je prvi deo ovog zadatka ranije nisam rešavao pa ne znam da ga uradim. Možda taj deo nije komplikovan. Pretpostavljam da je dovoljno da znamo definiciju pojma [inlmath]\sigma\bigl(\phi(x)\bigr)[/inlmath], a ja tu definiciju ne znam.

Napomena: Ako bi pomoću funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] definisali funkciju [inlmath]g(x)[/inlmath]
[dispmath]g(x)=\begin{cases}
0, & x=0\\
f(x), & x\ne0
\end{cases}[/dispmath] ta funkcija bi bila definisna i neprekidna na celom skupu [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], a u broju [inlmath]-2[/inlmath] ne bi bila diferencijabilna.
jans  OFFLINE
 
Postovi: 38
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 45 puta

Re: Ispitivanje funkcije s apsolutnim vrednostima

Postod DaniloJ » Nedelja, 09. Jun 2024, 21:27

jans je napisao:Treba ispitati svaku od tri funkcije (na odgovarajućem intervalu), a grafik funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] dobijamo "spajanjem" delova grafika ispitanih funkcija.

Da li ovde za domen svake pojedinačne funkcije uzimamo [inlmath]x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/inlmath] ili samo njihov domen za skiciranje tj. u prvom slučaju [inlmath]x\in(-\infty,-2)[/inlmath]? Pretpostavljam da su oba postupka tačna, jer na kraju iz prve funkcije uzimamo samo deo grafika sa tog domena kao što si već napomenuo.
DaniloJ  OFFLINE
 
Postovi: 26
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Ispitivanje funkcije s apsolutnim vrednostima

Postod jans » Ponedeljak, 10. Jun 2024, 12:04

Nije potrebno ispitivati sve tri funkcije na celom skupu [inlmath]D[/inlmath] (oblasti definisanosti). Treću funkciju ispitujemo na intervalu [inlmath](0,+\infty)[/inlmath] a njene osobine zapisujemo kao osobine date f-je (zbog [inlmath]0[/inlmath] u kojoj data f-ja nije definisana). Neke od osobina (verovatno nije moguće dati neko generalno uputstvo) prvih dveju f-ja ispitujemo na celom intervalu [inlmath]I=(-\infty,0)[/inlmath].
Za drugu funkciju ne proveravamo da li ima kose asimptote (te asimptote tražimo kad [inlmath]x[/inlmath] teži beskonačnosti).
Međutim, za prve dve f-je, pomoću znaka prvog izvoda, proveravamo rašćenje i opadanje na intervalu [inlmath](-\infty,0)[/inlmath], a iz toga zaključujemo da je prva f-ja opadajuća do broja [inlmath]-2[/inlmath], a druga od tog broja rastuća. A pošto je na intervalu [inlmath]I[/inlmath] prva f-ja neprekidna, a ima istu vrednost u broju [inlmath]-2[/inlmath] kao druga f-ja, sledi da u broju [inlmath]-2[/inlmath] data f-ja ima minimum (ovaj minimum nije moguće odrediti "šablonom" - ekstremum može biti tamo gde je prvi izvod jednak nuli, zato što data f-ja u broju [inlmath]-2[/inlmath] nije diferencijabilna).
Na intervalu [inlmath][-2,0)[/inlmath] ekstremnu vrednost određujemo samo za drugu f-ju (takođe i iz znaka prvog izvoda prve f-je vidimo da ta f-ja na ovom intervalu ima negativan minimum, a apsolutna vrednost će taj minimum "pretvoriti" u maksimum)...
Predlažem ti, da bi ovakve zadatke bolje "shvatio", da se malo podsetiš, odnosno rešiš neke jednostavnije zadatke. Na primer da ispitaš funkcije tipa [inlmath]y=|x+3|[/inlmath], ili [inlmath]y=\left|x^2-4\right|[/inlmath]. Grafike ovakvih f-ja možemo konstruisati pomoću određenog broja tačaka (tablice uređenih parova) a osobine "pročitati" sa grafika. Grafike ovakvih f-ja konstruišemo tako što najpre skiciramo grafik odgovarajuće f-je bez apsolutne vrednosti, a onda tačke dela grafika koji je ispod ose [inlmath]x[/inlmath] (koje imaju negativno [inlmath]y[/inlmath]) preslikamo simetrično u odnosu na osu [inlmath]x[/inlmath], da bi (zbog apsolutne vrednosti) [inlmath]y[/inlmath] bilo pozitivno.
jans  OFFLINE
 
Postovi: 38
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 45 puta

  • +1

Re: Ispitivanje funkcije s apsolutnim vrednostima

Postod Daniel » Petak, 21. Jun 2024, 14:25

DaniloJ je napisao:1. Odrediti konstante [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] tdj. [inlmath]f(x)=ax+b+\frac{c}{x}+\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath] kada [inlmath]x\to\infty\;\land\;x\to-\infty[/inlmath]

DaniloJ je napisao:Prvi deo dosta liči na Tejlorov razvoj, ali nemam ideju kako da ga uradim,

Sad videh da na ovaj deo pitanja nije odgovoreno. Da, ovo [inlmath]\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath] nam nekako i sugeriše da treba primeniti Tejlorov razvoj ([inlmath]\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath], kao što znamo, predstavlja izraz koji brže teži nuli (u ovom slučaju za [inlmath]x\to\pm\infty[/inlmath]) nego što [inlmath]\frac{1}{x}[/inlmath] teži nuli).
Da bismo mogli da primenimo Tejlorov razvoj, potrebno je uvesti odgovarajuću smenu. Za [inlmath]x\to-\infty[/inlmath], posmatramo deo funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] na [inlmath]I[/inlmath] intervalu, tj. [inlmath]f_1(x)=-(x+2)\cdot e^\frac{1}{x}[/inlmath]. Odgovarajuća smena ovde će biti [inlmath]\frac{1}{x}=t[/inlmath], [inlmath]x=\frac{1}{t}[/inlmath], [inlmath]t\to0^-[/inlmath], kako bismo dobili [inlmath]e^t[/inlmath] koje zatim možemo razviti kao [inlmath]\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{t^k}{k!}[/inlmath]:
[dispmath]-(x+2)e^\frac{1}{x}=-\left(\frac{1}{t}+2\right)e^t[/dispmath] Pošto su nam potrebni članovi zaključno s onim koji sadrži [inlmath]\frac{1}{x}[/inlmath] (nisu nam potrebni [inlmath]\frac{1}{x^2}[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{x^3}[/inlmath] itd. zbog onog [inlmath]\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath]), ovde su nam s obzirom na smenu [inlmath]\frac{1}{x}=t[/inlmath] potrebni članovi do [inlmath]t[/inlmath]. To znači da, pošto u zagradi pre [inlmath]e^t[/inlmath] imamo sabirak [inlmath]\frac{1}{t}[/inlmath], treba [inlmath]e^t[/inlmath] da razvijamo do člana koji sadrži [inlmath]t^2[/inlmath], kako bi on pri množenju s tim [inlmath]\frac{1}{t}[/inlmath] dao sabirak koji sadrži [inlmath]t[/inlmath]:
[dispmath]-\left(\frac{1}{t}+2\right)\left(1+t+\frac{t^2}{2}+\sigma\left(t^2\right)\right)=-\frac{1}{t}-3-\frac{5}{2}t+\sigma(t)[/dispmath] I, nakon vraćanja smene,
[dispmath]f_1(x)=-x-3-\frac{5}{2x}+\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/dispmath] Odavde sada, upoređivanjem sa [inlmath]f(x)=ax+b+\frac{c}{x}+\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath] nije teško odrediti konstante [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].



Vrlo slično se radi i za [inlmath]x\to+\infty[/inlmath], s tim da tada treba posmatrati funkciju u [inlmath]III[/inlmath] intervalu, tj. [inlmath]f_3(x)=(x+2)e^{-\frac{1}{x}}[/inlmath], pa je ovde najzgodnije uzeti smenu [inlmath]-\frac{1}{x}=t[/inlmath]. Nakon što sve uradiš kako treba, dobićeš [inlmath]f_3(x)=x+1-\frac{3}{2x}+\sigma\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9323
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5173 puta
Pohvaljen: 4960 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 16. Jul 2024, 01:46 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs