Ako sam dobor razumeo, kada ispitujemo neprekidnost funkcije - prvo trazimo nule pa onda trazimo limes kada iks tezi samo tim nulama sa leve i desne strane. I onda ako nam levi i desni limes i cela nasa funkcija imaju istu vrednost - onda je funkcija neprekidna u toj svojoj nuli. A ako je npr.
[dispmath]\text{levi limes}\ne\text{desni limes}=f(3)[/dispmath] onda je funkcija sa desne strane neprekidna. Jesam li u pravu? Hvala najlepse

Imam jos jedno pitanje - ako domen neke funkcije pripada skupu realnih brojeva, da li je onda funkcija diferencijabilna pa (po teoremi koja kaze da ako je funkcija diferencijabilna onda je i neprekidna - obrnuto ne vazi) samim tim i neprekidna na celom skupu realnih brojeva? Hvala najlepse

Funkcija ima prekid u nekoj tački [inlmath]x_0[/inlmath] ako je:
[dispmath]\left(\exists\varepsilon>0\right)\left(\forall\delta>0\right)\left(\exists x\in X\right)\left(|x-x_0|<\delta\land|f(x)-f(x_0)|\ge\varepsilon\right)[/dispmath] Razlikujemo nekoliko vrsta prekida.

Otklonjiv prekid je kada postoje levi i desni limes u toj tački i kada su pri tom ta dva limesa jednaka (dakle, [inlmath]\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=L[/inlmath], pri čemu je [inlmath]f(x_0)\neq L[/inlmath]. Prekid se otklanja tako što dodefinišemo vrednost [inlmath]f(x_0)=L[/inlmath] za tu tačku.

Prekid prve vrste je kada i levi i desni limes u toj tački, tj. [inlmath]\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)=L_1[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=L_2[/inlmath] imaju konačne, a različite vrednosti ([inlmath]L_1\neq L_2[/inlmath]).

Prekid druge vrste je kada je jedan od ta dva limesa beskonačan ili ne postoji.

Neprekidnost sa jedne strane podrazumeva sledeće. Kažemo da je funkcija neprekidna s leve strane ako je:
[dispmath]\lim_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0)[/dispmath] Slično, funkcija je neprekidna s desne strane ako je:
[dispmath]\lim_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0)[/dispmath] Funkcija je u datoj tački neprekidna ako je neprekidna i sa leve i sa desne strane.

U slučaju koji navodiš, levi limes je različit od desnog limesa, i stoga funkcija ima prekid u toj tački. Nisi naveo da li su limesi konačni ili ne, ali pod pretpostavkom da jesu, ako su levi i desni limes različiti a konačni, onda funkcija ima prekid prve vrste u toj tački. Ako važi i [inlmath]\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0)[/inlmath], funkcija je neprekidna s desne strane.

Što se drugog pitanja tiče – sve elementarne funkcije su neprekidne na svom domenu. Ako je domen neke funkcije skup realnih brojeva, onda je ona i neprekidna na celom skupu realnih brojeva.

Nisam mozda bas najbolje formulisao pitanje. Hvala na odgovoru - znam sve ovo vezano za neprekidnost, medjutim ono sto mi je sporno jeste koja je ta tacka u kojoj ja ispitujem neprekidnost? Napisao si u "nekoj tacki" i to je ok kada ja imam funkciju gde treba da ispitam neprekidnost u tacki koja mi je data - tako da se izrazim. Ali ako imam recimo funkciju koju treba komplet da ispitam (domen, znak, nule, asimptote...), ja necu imati tu tacku, pa me interesuje koja je ta tacka za koju ispitujem neprekidnost? Jel to mozda nula f-je? I ako jeste, sta ako imam vise nula - onda trazim levi i desni limes za sve nule? Pa posle mozda postoji mogucnost da f-ja ima vise tacki prekida?

Da, funkcija može da ima i više tačaka prekida.

Sve elementarne funkcije su neprekidne u domenu na kojem su definisane. Van oblasti definisanosti nema smisla govoriti o (ne)prekidnosti funkcije (kako funkcija može da bude prekidna tu gde nije ni definisana?) Uglavnom se i radi sa elementarnim funkcijama, tako da se neprekidnost podrazumeva.

Primer funkcije koja nije elementarna je recimo signum funkcija. Funkcija [inlmath]f(x)=\text{sgn }x[/inlmath] ima prekid u nuli (prekid prve vrste, jer levi i desni limes postoje, konačni su, ali različiti). I, što je jako bitno, funkcija [inlmath]f(x)=\text{sgn }x[/inlmath] je definisana u nuli.

Međutim, iako striktno govoreći nema smisla da se neprekidnost ispituje u tačkama gde funkcija nije ni definisana, upravo to se često traži u zadacima. Tako se recimo očekuje da za funkciju [inlmath]f(x)=\frac{1}{x}[/inlmath] kažeš da ima prekid u nuli. Međutim, striktno govoreći, ta tačka uopšte nije u domenu te funkcije i onda nema smisla ni reći da je tu neprekidna.

Ipak, kako se na striktnosti ne insistira toliko, ispitivanje neprekidnosti se kod elementarnih funkcija svodi na ispitivanje ponašanja funkcije u tačkama u kojima ta funkcija nije definisana. Ako recimo imaš funkciju [inlmath]f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3}[/inlmath], ispitivaćeš kako se funkcija ponaša u tačkama [inlmath]x=1[/inlmath] i [inlmath]x=-3[/inlmath]. To, međutim, uopšte nije tačno, i pojma nemam zašto mnogi (čak i na fakultetima) traže tako nešto.

Daću jedno neformalno objašnjenje. Ono što treba da radiš generalno kada treba da ispitaš neprekidnost neke funkcije jeste da "pretrčiš" preko celog njenog domena i izdvojiš tačke gde se "nešto čudno dešava". Recimo, kod već pomenute signum funkcije – fino "funkcioniše" za sve vrednosti osim nule, dok se u nuli dešava nešto neobično – funkcija ima i levi i desni limes definisan, oba su konačna, a različita od vrednosti funkcije u toj tački... Dok u ostalim tačkama sve "štima".

U ovom primeru ovde recimo funkcija je definisana na celom skupu realnih brojeva. Međutim, u tačkama [inlmath]-1,0,1[/inlmath] se funkcija ponaša "nestandardno", i onda ispituješ za sve te tačke ponaosob šta se tačno "dešava" u njima, tj. da li postoje levi i desni limes, da li su konačni ili ne, da li su jednaki ili ne, i sl. Tj. sve ono što sam ti naveo u gornjem postu.

Kada treba da ispitaš komplet funkciju, ako je u pitanju neka elementarna funkcija, onda je i neprekidna. (uglavnom se ispitivanje elementarnih funkcija i traži)

Kako ne bi bilo dileme šta se podrazumeva pod elementarnom funkcijom, navešću i to. U njih se ubrajaju trigonometrijske funkcije, inverzne trigonometrijske funkcije, logaritamske funkcije, eksponencijalne, stepene, racionalne i polinomi, kao i sve funkcije koje se dobijaju sabiranjem, oduzimanjem, množenjem, deljenjem i kompozicijom prethodno navedenih funkcija.

Hvala najlepse na detaljnom odgovoru. To me je bunilo koja je ta tacka da li su to nule ili sta. Sad je jasno, gledam te "sporne" tacke u domenu i onda tu ispitujem neprekidnost.

Recimo kod ove funkcije
[dispmath]f(x)=\frac{x^3-3x}{x^2-1}[/dispmath] ispitivao bih neprekidnost u tackama [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath]
A mogu i da napisem da je funkcija neprekidna posto je elementarna (racionalna)? Mada ce sigurno traziti da to i dokazem tj. da trazim levi i desni limes i td. pa da pokazem da je neprekidna.

Pazi, na mnogim fakultetima se traži upravo to da za neprekidnost ove funkcije ispitaš tačke [inlmath]x=-1[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath] jer je tu imenilac nula, i funkcija ima "osetljivu" tačku.

Onda ispitaš levi i desni limes u toj tački, pa pošto u konkretnom primeru za obe tačke dobiješ da su ti limesi različiti i beskonačni, zaključiš da je u pitanju prekid druge vrste, u svakoj od tih tačaka. Pa onda kažeš da funkcija ima prekid u te dve tačke, a svuda osim toga je neprekidna.

Međutim, takav pristup je potpuno pogrešan i ne znam zašto na njemu toliko istrajavaju, budući da te tačke uopšte nisu u domenu funkcije. Domen ove funkcije je [inlmath]\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}[/inlmath], pa u tim tačkama funkcija ne može biti ni prekidna ni neprekidna jer jednostavno ne postoji! Prosto nema smisla govoriti o (ne)prekidnosti funkcije tu gde je funkcija nedefinisana.

Elementarne funkcije nemaju prekid na svom domenu, međutim ako govoriš o neprekidnosti van domena (što je, rekoh, potpuno besmisleno) tu može biti takvih tačaka, kao u ovom primeru koji si naveo. Ali te tačke ne pripadaju domenu funkcije. Elementarne funkcije su neprekidne tu gde su definisane. A ponavljam, govoriti o neprekidnosti funkcije tu gde nije ispunjen uslov definisanosti nema smisla.

U primerima koje sam ti ja dao funkcije su definisane na celom skupu [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], ali zato imaju prekide u određenim tačkama. Zato što tu već nije reč o elementarnim funkcijama, već signum funkciji i funkciji sa "grananjem". One mogu biti prekidne na svom domenu, dok je za elementarne jasno – ako je u nekoj tački funkcija definisana onda je tu i neprekidna.

Sve u svemu, moguće da od tebe profesor traži da ispitaš neprekidnost i u tim tačkama [inlmath]x=-1[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath]. To su jedine tačke u kojim funkcija nije definisana. Tu gde jeste zna se da je neprekidna. Tu gde nije definisana ćeš onda ispitati šta se dešava i zaključiti o kakvom se prekidu radi. Međutim, ovo poslednje je pogrešno, jer, sasvim logično, tu gde funkcije nema nećeš moći ni da je analiziraš. Međutim, na ovom što ja pominjem retko ko insistira, tako da je najbolje da se konsultuješ sa svojim profesorom oko toga šta on tačno traži.

Nije trazeno da ispitam u tim tackama nego da ispitam celu funkciju, pa ja pitam da li u tim tackama treba da ispitujem neprekidnost? Hvala najlepse

Ako radite matematiku striktno – ako je funkcija elementarna nema potrebe da ispituješ bilo šta.

Ako je ne radite striktno, a tako najčešće i biva – onda ispituješ samo tačke gde elementarna funkcija nije definisana.