MATEMANIJA

Neka je funkcija [inlmath]f[/inlmath] definisana i neprekidna na segmentu [inlmath][a,b][/inlmath]. Najmanja i najveća vrednost funkcije [inlmath]f[/inlmath],za [inlmath]x\in [a,b][/inlmath] je jedan od brojeva [inlmath]f(a),f(x_1),\ldots ,f(x_k),f(b)[/inlmath], gde su [inlmath]x_1,\ldots ,x_k[/inlmath] tačke intervala [inlmath](a,b)[/inlmath] u kojima je prvi izvod funkcije jednak nuli (stacionirane tačke) ili u kojima izvod ne postoji.
Sve mi je to jasno osim kako da proverim da li u odredjenoj tacki postoji izvod? I da li se razlikuje lokalni minimum/maksimum na odredjenom segmentu od najmanje/najvece vrednosti funkcije na tom segmentu,, posto se negde trazi jedno, a negde drugo? Evo konkretni primer na kome mozes da moze da mi se objasni kako da proverim da li izvod postoji u odredjenoj tacki: Naci najmanju i najvecu vrednost funkcije [inlmath]f[/inlmath] definisane sa [inlmath]f(x)=\left|x^2-5x+6\right|[/inlmath] na segmentu [inlmath]\left[0,\frac{12}{5}\right][/inlmath]
[dispmath]x^2-5x+6\geq 0,\;x\in (-\infty,2]\cup [3,+\infty)[/dispmath][dispmath]f(x)=\begin{cases}
x^2-5x+6, & x\in [0,2]\\
-\left(x^2-5x+6\right), & x\in\left(2,\frac{12}{5}\right]
\end{cases}[/dispmath]
[dispmath]f'(x)=\begin{cases}
2x-5, & x\in (0,2)\\
-2x+5, & x\in\left(2,\frac{12}{5}\right)
\end{cases}[/dispmath]
E sad, moji ''zakljucci'': Da li izvod u tacki [inlmath]x=2[/inlmath] ne postoji zato sto je tada pocetna funkcija jednaka nuli? I zasto su kod racunanja izvoda uklonjene uglaste zagrade a umesto toga stavljene obicne? Tj. zasto ti brojevi ne pripadaju skupu? Min i max znam sam da odredim tako da nije potrebno da se radi dalje zadatak, samo su mi potrebna ta objasnjenja..

nikolalosic je napisao:I da li se razlikuje lokalni minimum/maksimum na odredjenom segmentu od najmanje/najvece vrednosti funkcije na tom segmentu,, posto se negde trazi jedno, a negde drugo?

Na određenom segmentu funkcija može imati više lokalnih minimuma i maksimuma, ali najviše jednu minimalnu i najviše jednu maksimalnu vrednost. Lokalni minimum je ona tačka u čijoj bilo kojoj dovoljno maloj okolini funkcija ima veću vrednost nego u toj tački. Znači, kad iz tačke lokalnog minimuma kreneš bilo na levu, bilo na desnu stranu, vrednost funkcije krene da raste. Analogno objašnjenje bi bilo i za tačku lokalnog maksimuma.
Međutim, minimalna vrednost funkcije na tom segmentu je najmanja od svih vrednosti koje funkcija može imati na tom segmentu. U tome je razlika.

Evo ilustracije:


Na posmatranom segmentu funkcija ima lokalne minimume u tačkama [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_3[/inlmath]. Lokalni maksimumi su u tačkama [inlmath]x_2[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath]. Međutim, minimalna vrednost na posmatranom segmentu bila bi u tački [inlmath]x_1[/inlmath], dok bi maksimalna vrednost na posmatranom segmentu bila u tački [inlmath]x_4[/inlmath].

nikolalosic je napisao:Da li izvod u tacki [inlmath]x=2[/inlmath] ne postoji zato sto je tada pocetna funkcija jednaka nuli?

Ne, nema to veze s time što je u toj tački vrednost funkcije jednaka nuli. Izvod u toj tački ne postoji zbog toga što, kada ga tražimo s leve i sa desne strane, ne dobijamo istu vrednost:
[dispmath]\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{f\left(2+\Delta x\right)-f\left(2\right)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{\left(2+\Delta x\right)^2-5\left(2+\Delta x\right)+6-2^2+5\cdot 2-6}{\Delta x}=\cdots =-1[/dispmath]
[dispmath]\lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{f\left(2+\Delta x\right)-f\left(2\right)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{-\left(2+\Delta x\right)^2+5\left(2+\Delta x\right)-6+2^2-5\cdot 2+6}{\Delta x}=\cdots =1[/dispmath]
Grafičko objašnjenje bi bilo to, da u tački [inlmath]x=2[/inlmath] funkcija ima „šiljak“, a kad funkcija u nekoj tački ima „šiljak“, tada njen prvi izvod u toj tački ne postoji. To je i logično, jer, iako funkcija u toj tački jeste neprekidna, njen nagib u toj tački naglo menja vrednost, a pošto izvod upravo predstavlja meru nagiba, samim tim i izvod u toj tački naglo menja vrednost, tj. ima prekid u toj tački – drugim rečima, funkcija u toj tački nije diferencijabilna, što znači da njen izvod u toj tački ne postoji.

Međutim, iako izvod u tački [inlmath]x=2[/inlmath] ne postoji, ta tačka ipak predstavlja lokalni minimum jer zadovoljava njegovu definiciju, da u bilo kojoj dovoljno maloj okolini te tačke funkcija ima veću vrednost nego u samoj toj tački. U tački [inlmath]x=2[/inlmath] će, ujedno, biti i minimalna vrednost funkcije na segmentu [inlmath]\Bigl[0,\frac{12}{5}\Bigr][/inlmath].

Imaš o tome još pojedinosti i u ovoj temi, u kojoj smo imali isti ovaj zadatak.

nikolalosic je napisao:I zasto su kod racunanja izvoda uklonjene uglaste zagrade a umesto toga stavljene obicne? Tj. zasto ti brojevi ne pripadaju skupu?

I za ovo imaš odgovor u pomenutoj temi.