MATEMANIJA

Najmanja vrednost rastojanja tačke [inlmath]M(0,-2)[/inlmath] od tačaka [inlmath](x,y)[/inlmath] takvih da je [inlmath]y=\frac{16}{\sqrt3x^3}-2[/inlmath] za [inlmath]x>0[/inlmath], iznosi?
Rešenje je [inlmath]\frac{4}{\sqrt3}[/inlmath]
Napisala sam formulu za rastojanje između dve tačke. Valjda bih sada trebala da nađem izvod i izjednačim sa [inlmath]0[/inlmath].
Dobijam da je [inlmath]d=\sqrt\frac{3x^8+256}{3x^6}[/inlmath] i sad ne znam kako da nađem prvi izvod, ili je to pogrešno?

Nije pogrešno. Za tu funkciju dobija se minimum [inlmath]\frac{4}{\sqrt3}[/inlmath]. Uzmi funkciju malo sredi. Pa poslije koristi izvod količnika i izvod složene funkcije.

Možeš izbeći i izvod količnika i izvod složene funkcije.
Prvo, kako da se pri traženju izvoda oslobodiš korena – pa, kada je [inlmath]d[/inlmath] minimalno, tada je, sasvim logično, i [inlmath]d^2[/inlmath] minimalno (jer je [inlmath]d\ge0[/inlmath]), tako da, umesto da tražiš izvod od [inlmath]d[/inlmath] (i petljaš se s kvadratnim korenom), lepo traži izvod od [inlmath]d^2[/inlmath], tj. od potkorene veličine.
Dalje, [inlmath]d^2=\frac{3x^8+256}{3x^6}[/inlmath] možeš svesti na izraz pogodniji za traženje izvoda, kako bi izbegla izvod količnika. Napišeš to kao [inlmath]x^2+\frac{256}{3}x^{-6}[/inlmath], i ništa lakše – to je sada zbir dva tablična izvoda.

Ne umem dalje da se snađem. Dobila sam da je izvod [inlmath]2x-512x^{-7}[/inlmath]. Sta dalje? Kako da dobijem [inlmath]d_{\text{min}}[/inlmath]?

Daniel je napisao:Možeš izbeći i izvod količnika i izvod složene funkcije.

Nisam te baš najbolje skontao. Misliš da tražim izvod funkcije koja je pod korijenom, jer je logično ako je ona minimalna i njen korijen će biti minimalan. Naravno uz uslov da je ta vrijednost pozitivna. Znači samo izvod funkcije [inlmath]y=x^2+\frac{256}{3}x^{-6}[/inlmath]. Na taj način se malo skrati i nema izvoda složene funkcije. Mislim da se još nikad nisam služio sličnim trikom.
Ali može i ovako (tako bih ja radio), traži se izvod ove funkcije [inlmath]y^2=x^2+\frac{256}{3}x^{-6}[/inlmath]. Dobije je [inlmath]y[/inlmath] koje figuriše u nazivniku (izvod složene funkcije) ali to nije ni bitno Kod obije funkcije dobija se taj isti minimum za [inlmath]x=\pm2[/inlmath].

@andrijana_
Izjednači prvi izvod sa nulum. I uvrsti tu vrijednost u prvobitnu funkciju i dobijaš minimalnu vrijednost funkcije.

andrijana_ je napisao:Ne umem dalje da se snađem. Dobila sam da je izvod [inlmath]2x-512x^{-7}[/inlmath]. Sta dalje? Kako da dobijem [inlmath]d_{\text{min}}[/inlmath]?

Znači, taj izvod koji si dobila je izvod od [inlmath]d^2[/inlmath]. Ti tražiš za koje [inlmath]x[/inlmath] će taj kvadrat rastojanja biti minimalan. Prema tome, potrebno je da prvi izvod od [inlmath]d^2[/inlmath] izjednačiš s nulom (to ti je Gamma i rekao, ja samo obrazlažem).

Gamma je napisao:Nisam te baš najbolje skontao. Misliš da tražim izvod funkcije koja je pod korijenom, jer je logično ako je ona minimalna i njen korijen će biti minimalan. Naravno uz uslov da je ta vrijednost pozitivna. Znači samo izvod funkcije [inlmath]y=x^2+\frac{256}{3}x^{-6}[/inlmath]. Na taj način se malo skrati i nema izvoda složene funkcije. Mislim da se još nikad nisam služio sličnim trikom.

OK... I, možeš li da pojasniš šta tačno nisi skontao, kako bih mogao i da ti odgovorim?

Gamma je napisao:Ali može i ovako (tako bih ja radio), traži se izvod ove funkcije [inlmath]y^2=x^2+\frac{256}{3}x^{-6}[/inlmath]. Dobije je [inlmath]y[/inlmath] koje figuriše u nazivniku (izvod složene funkcije) ali to nije ni bitno Kod obije funkcije dobija se taj isti minimum za [inlmath]x=\pm2[/inlmath].

Misliš, nađemo izvod obe strane i dobijemo [inlmath]2yy'=2x-512x^{-7}[/inlmath]? OK, može i tako, i to je ispravan način.

Daniel je napisao:Misliš, nađemo izvod obe strane i dobijemo [inlmath]2yy'=2x-512x^{-7}[/inlmath]? OK, može i tako, i to je ispravan način.

Upravo na to mislim

Daniel je napisao:OK... I, možeš li da pojasniš šta tačno nisi skontao, kako bih mogao i da ti odgovorim?

Govorio sam uopšteno, odnosi se na taj način bez izvoda složene funkcije. Tačnije nije mi bio baš jasan taj način gdje nema izvoda složene funkcije. Mada i to je sad OK.

@Gamma,
jako si sve ovo zakomplikovao, uvodeći i drugu promenljivu.
Ovo je mnogo prosto. Zašto komplikovati?
Funkcije [inlmath]\sqrt{(\mbox{"nešto"})}[/inlmath] i [inlmath]\mbox{"nešto"}[/inlmath] dostižu minimalnu vrednost za isto [inlmath]\mbox{"nešto"}[/inlmath]. To je Daniel uostalom lepo objasnio. Isto bi važilo i za još neke funkcije...
Naravno da je uvek potrebno pogledati i domen funkcije.

U pravu si desideri. Tačno je da je to 100% najjednostavniji način!