MATEMANIJA

Trazi se zbir najmanje i najvece vrednosti funkcije na segmentu [inlmath][-2,2][/inlmath]
[dispmath]f(x)=x^2-|x+1|-1[/dispmath]
Resenje je [inlmath]R(-1/4)[/inlmath]
Ima slicnih zadataka, sa slicnim naslovima, ali je uspeo da me zbuni deo sa apsolutnom zagradom. Razlozio sam je na dva dela i postavio uslove, nasao temena i nule funkcije ali se zbunim i ne mogu da odredim koja je najmanja a koja najveca vrednost. Dobijem i sracunam sve sto se moze sracunati, ali ne odaberem ono sto mi treba ( tj minimum i maximum), pa ako to moze neko detaljnije da mi pojasni, bio bih zahvalan.
Ps: nadam se da sam se snasao sa ovim latexom.

Nacrtaj grafik funkcije. Sa njega se vidi sve.

@koncanica,
dobrodošao na forum.
Zaista si jedan od retkih korisnika koji već u prvom postu poštuju naš Pravilnik.
Ali molim te pojasni ovo:

koncanica je napisao:Resenje je [inlmath]R(-1/4)[/inlmath]

Evo ide i grafik funkcije. Mada i mene bi zanimalo šta znači ovo [inlmath]R[/inlmath]?

Pardon, malo sam vas zbunio, zbir najmanje i najvece vrednosti [inlmath]=-\frac{1}{4}[/inlmath]

Gamma je napisao:Evo ide i grafik funkcije. Mada i mene bi zanimalo šta znači ovo [inlmath]R[/inlmath]?

Ja dobijem dva grafika, zbog apsolutne, to je prva nejasnoca. Druga nejasnoca mi je, kako tacka [inlmath]B\left(-\frac{9}{4}\right)[/inlmath] moze da bude minimalna vrednost kada ne upada u interval od [inlmath][-2,2][/inlmath]? Ako mozes prikazi postupak, bilo bi dosta jasnije.

Znaš li uopšte kako se crta grafik funkcije s apsolutnom vrijednosti?

Znam kada je cela pod apsolutnom, ovde je delimicno pa mi nije najjasnije, ako mozes objasni...

Evo, ovo je sigurno dobra slika:


A zapravo je ista kao i ona koju je postovao Gamma.

Da dopunim odgovor:
minimalna vrednost date funkcije na datom intervalu iznosi [inlmath]-\frac{9}{4}[/inlmath] a maksimalna iznosi [inlmath]2[/inlmath].
Potrebno je naglasiti da je jedno nezavisna promenljiva [inlmath]x[/inlmath] i ona se posmatra od [inlmath]-2[/inlmath] do [inlmath]2[/inlmath].
Drugo je funkcija, to jest zavisna promenljiva [inlmath]y[/inlmath].
Ona može biti i van tog intervala.
Naravno da je [inlmath]x[/inlmath] od [inlmath]-2[/inlmath] do [inlmath]2[/inlmath]. Ali vrednost funkcije ne mora biti u tom intervalu.

Pozdrav i od mene, i pridružujem se Desiderijevim pohvalama za način na koji si postavio pitanje.

@Gamma, @desideri, vaši grafici su sasvim OK, al' ja ću ih malo i obrazložiti.

koncanica je napisao:Ja dobijem dva grafika, zbog apsolutne, to je prva nejasnoca.

Da krenemo od definicije apsolutne vrednosti:
[dispmath]\left|x\right|\;\overset{\mbox{def}}{=\!=}\;\begin{cases}
-x, & x<0\\
x, & x\ge0
\end{cases}[/dispmath]
U ovom zadatku unutar apsolutne vrednosti imamo izraz [inlmath]x+1[/inlmath]. I za njega važi isto:
[dispmath]\left|x+1\right|\;\overset{\mbox{def}}{=\!=}\;\begin{cases}
-\left(x+1\right), & x+1<0\\
x+1, & x+1\ge0
\end{cases}[/dispmath]
a to se može napisati i kao
[dispmath]\left|x+1\right|\;\overset{\mbox{def}}{=\!=}\;\begin{cases}
-x-1, & x<-1\\
x+1, & x\ge-1
\end{cases}[/dispmath]
I onda razmatramo zasebno dva slučaja, jedan kada je [inlmath]x<-1[/inlmath], drugi kada je [inlmath]x\ge-1[/inlmath].

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]\underline{x<-1}[/inlmath]
[dispmath]f\left(x\right)=x^2+\left(x+1\right)-1=x^2+x[/dispmath]
Grafik te funkcije izgleda ovako (deo grafika desno od [inlmath]x=-1[/inlmath] namerno sam izbledeo jer ovaj slučaj važi samo za [inlmath]x<-1[/inlmath]):


[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]\underline{x\ge-1}[/inlmath]
[dispmath]f\left(x\right)=x^2-\left(x+1\right)-1=x^2-x-1-1=x^2-x-2[/dispmath]
Grafik te funkcije izgleda ovako (nasuprot prethodnom slučaju, sada sam izbledeo deo grafika levo od [inlmath]x=-1[/inlmath], jer ovaj slučaj važi samo za [inlmath]x\ge-1[/inlmath]):


Znači, radeći ova dva odvojena slučaja, zaista dobijemo dva grafika, međutim, oni se ne preklapaju budući da jedan grafik važi za [inlmath]x<-1[/inlmath] a drugi za [inlmath]x\ge-1[/inlmath].

Tek na kraju, objedinjavanjem ova dva slučaja, ove „neizbleđene“ delove grafika spojimo u jedan i to će biti grafik ove zadate funkcije:

koncanica je napisao:Druga nejasnoca mi je, kako tacka [inlmath]B\left(-\frac{9}{4}\right)[/inlmath] moze da bude minimalna vrednost kada ne upada u interval od [inlmath][-2,2][/inlmath]? Ako mozes prikazi postupak, bilo bi dosta jasnije.

Desideri ti je na ovo već dao odgovor, a ja ću to ilustrovati i jednim konkretnim primerom. Uzmimo da je [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath]. To je vrednost koja pripada intervalu [inlmath]x\in\left[-2,2\right][/inlmath]. Kolika je vrednost funkcije za tako odabrano [inlmath]x[/inlmath]? Vrednost funkcije će biti
[dispmath]f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left|\frac{1}{2}+1\right|-1=\frac{1}{4}-\left|\frac{3}{2}\right|-1=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}-1=-\frac{9}{4}[/dispmath]
i dobili smo upravo tu vrednost funkcije za koju si pitao.

Dakle: vrednost nezavisne promenljive očitavamo na [inlmath]x[/inlmath]-osi (horizontalnoj osi) i ona je u ovom zadatku ograničena na interval od [inlmath]-2[/inlmath] do [inlmath]2[/inlmath], dok vrednost funkcije očitavamo na [inlmath]y[/inlmath]-osi (vertikalnoj osi) i u ovom zadatku se traži da odredimo kolika je minimalna a kolika vrednost te funkcije, za tako zadat interval nezavisne promenljive [inlmath]x[/inlmath].

@desideri
Hvala puno na odgovoru, to me je bunilo oko segmenta.

@Daniel
Hvala druze, nije moglo jasnije, sve sam skapirao )

@Daniel,
ovo s "izbleđivanjem" grafika ti je sjajno .
@koncanica,
retko kada je potrebno citirati celu poruku. Molim te da obratiš pažnju na tačku 15. Pravilnika.

@desideri
Hvala na odgovoru, obraticu paznju