MATEMANIJA

[dispmath]f(x)=|2x+1|+|x−3|−|5x−4|,\;x\in\mathbb{R}[/dispmath]
Prvo sto nisam razumeo ovde je kako se trazi maksimalna vrednost za linearne jednacine. Ako ne gresim, ovde vidim najveci eksponent da je [inlmath]1[/inlmath].
Druga stvar koji ne razumem kako se radi kad imamo 3 apsolutne zagrade, da li razmatram 3 na kvadrat slucajeva ?

Zahvaljujem unapred

Crtaj grafik funkcije, ovi zadaci se često rade grafički. Rješenje je [inlmath]\frac{24}{5}[/inlmath].

Pa kako da nacrtam kada ne znam da resim ?

Šta ne znaš da riješiš? Mislim znaš li kako se crta grafik funkcije s apsolutnom vrijednosti?

Znam da nacrtam ako bi bilo tipa [inlmath]f(x)=|2x+1|[/inlmath] ali ima tri puta po apsoulutna vrednost i na 3 mesta po [inlmath]x[/inlmath] zato ne znam kako da nacrtam grafik. Zato sam pitao koliko slucajeva ima, mnogo toga mi je nejasno. Da crtam svaku ponaosob i onda gde se seku da nadjem resenje ?

Pogledaj ovo.

Može i bez grafičke metode.
Prvo treba da uočiš koje su to „kritične vrednosti“ za svaki od ovih izraza unutar apsolutnih zagrada. To jest, vrednost [inlmath]x[/inlmath] za koju je izraz unutar apsolutne zagrade jednak nuli, jer su to „kandidati“ za lokalne ekstremne vrednosti.
Za [inlmath]\left|2x+1\right|[/inlmath] to bi bilo [inlmath]x=-\frac{1}{2}[/inlmath], za [inlmath]\left|x-3\right|[/inlmath] to bi bilo [inlmath]x=3[/inlmath] i za [inlmath]\left|5x-4\right|[/inlmath] to bi bilo [inlmath]x=\frac{4}{5}[/inlmath].
Zatim napraviš tabelu:
[dispmath]\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline
& x=-\frac{1}{2} & x=3 & x=\frac{4}{5}\\ \hline
\left|2x+1\right| & & & \\ \hline
\left|x-3\right| & & & \\ \hline
\left|5x-4\right| & & & \\ \hline
\left|2x+1\right|+\left|x-3\right|-\left|5x-4\right| & & & \\ \hline
\end{array}[/dispmath]
Kad popuniš tu tabelu, u poslednjoj vrsti tabele ćeš dobiti vrednost funkcije u svakoj od tih kritičnih tačaka. Ostalo je samo da uočiš koja od njih je najveća – i to će biti najveća vrednost te funkcije na celom njenom domenu.

Naravno, potrebno je uveriti se da u [inlmath]-\infty[/inlmath] i u [inlmath]+\infty[/inlmath] vrednost funkcije ide u [inlmath]-\infty[/inlmath], jer, ako bi išla u [inlmath]+\infty[/inlmath], tada ne možemo govoriti o njenoj maksimalnoj vrednosti na celom domenu.

lowzyyy je napisao:Prvo sto nisam razumeo ovde je kako se trazi maksimalna vrednost za linearne jednacine.

Verovatno si hteo da kažeš, linearne funkcije. Same linearne funkcije ne mogu imati ni minimalnu ni maksimalnu vrednost, jer njihova vrednost ide, kako i sâm naziv funkcije kaže, linearno, od [inlmath]-\infty[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath]. Ali, kod funkcija koje imaju apsolutne zagrade u svom izrazu, kao što je ovde slučaj, možemo imati minimalne ili maksimalne vrednosti.

Apsolutna vrednost uvek daje pozitivan rezultat. Moras odrediti kako se gde ponasa grafik funkcije koju si dao, tako sto ces odrediti vrednost za [inlmath]x[/inlmath]. Krenimo od prve apsolutne vrednosti.
[inlmath]|2x+1|[/inlmath] mora davati pozitivan rezultat. Ona i hoce biti pozitivna kada je ceo rezultat veci (ili jednak) nuli. Ako vec daje pozitivan rezultat onda se ne mora ni menjati. Nula ovog izraza je [inlmath]x=-\frac{1}{2}[/inlmath] tako da vazi
[inlmath]x\geq-\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;2x+1[/inlmath] i [inlmath]x\leq-\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;-2x-1[/inlmath]
Ista prica vazi i za ostale dve apsolutne.
[dispmath]|x-3|[/dispmath]
[inlmath]x\geq3\;\Rightarrow\;x-3[/inlmath] i [inlmath]x\leq3\;\Rightarrow\;-x+3[/inlmath]
[dispmath]|5x-4|[/dispmath]
[inlmath]x\geq\frac{4}{5}\;\Rightarrow\;5x-4[/inlmath] i [inlmath]x\leq\frac{4}{5}\;\Rightarrow\;-5x+4[/inlmath]
Sada kada smo definisali kako se koja apsolutna gde ponasa pravimo nove, neverovatne, 4 funkcije. Ja najvise volim to ovako da radim: kazem gde se koja kako ponasa, zapisem uslove od najmanjeg ka najvecoj i pravim. Stoga:
[inlmath]x\leq-\frac{1}{2}[/inlmath]
[dispmath]f_1(x)=-2x-1-x+3-(-5x+4)=2x-2[/dispmath]
[inlmath]\left.x\geq-\frac{1}{2}\;\right/\;x\leq\frac{4}{5}[/inlmath]
[dispmath]f_2(x)=2x+1-x+3-(-5x+4)=6x[/dispmath]
itd...
Onda crtas grafik. Najbolje ti je da ucrtas "mekano" za nule vrednosti i onda postavljas uslov:"Aha, prva funkcija mi vazi za [inlmath]x[/inlmath] manje jednako od [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath]" - povuces lajnu, podebljas funkciju [inlmath]f_1(x)[/inlmath] do [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] lajne. Imaces tri lajne, treba da dobijes cetiri funkcije. Funkcija koja ti graficki udara u lajnu najvise: menjas za [inlmath]x=[/inlmath] pa broj iz kog je povucena lajna. Neretko se desava da stave dve funkcije koje su graficki priblizno na istom mestu (jos ako lose crtas bice ) tako da u obe menjaj vrednost za to [inlmath]x[/inlmath]. To sto dobijes to ti je maksimum. Nadam se da nisam zakomplikovao (mozda imam gresku u racunu - radim iz glave) tako da ako imas pitanje - pucaj.

a moze i kao sto je daniel zapisao, mada radije volim da je vidim nego da mislim

Blago vama ljudi ja ovo nista ne shvatam. Prvi put se susrecem sa ovakvim zadatkom u zivotu. Do pre mesec dana nisam znao kako se najobicnija apsolutna resava jer mi to skoro da nismo ni pominjali..
Ovako, kapiram prvi deo gde nalazimo nule svake funkcije, ali onda dalje mi nije jasno:

1. kod ove tabele uzmem ja lepo popunim do poslednjeg reda, ali ne znam sta pisem u poslednjem ? Sabiram svaku kolonu i unosim ?

2. ovo sto kostur kaze tek ne razumem. Prvi korak samo jedan uslov, drugi korak nije taj vec je suprotan od prvog a onda se ubaci drugi i dokle sve to ide ? Ne kapiram koncept resavanja ni malo