MATEMANIJA

[dispmath]f(x)=|2x+1|+|x−3|−|5x−4|,\;x\in\mathbb{R}[/dispmath]
Prvo sto nisam razumeo ovde je kako se trazi maksimalna vrednost za linearne jednacine. Ako ne gresim, ovde vidim najveci eksponent da je [inlmath]1[/inlmath].
Druga stvar koji ne razumem kako se radi kad imamo 3 apsolutne zagrade, da li razmatram 3 na kvadrat slucajeva ?

Zahvaljujem unapred

Crtaj grafik funkcije, ovi zadaci se često rade grafički. Rješenje je [inlmath]\frac{24}{5}[/inlmath].

Pa kako da nacrtam kada ne znam da resim ?

Šta ne znaš da riješiš? Mislim znaš li kako se crta grafik funkcije s apsolutnom vrijednosti?

Znam da nacrtam ako bi bilo tipa [inlmath]f(x)=|2x+1|[/inlmath] ali ima tri puta po apsoulutna vrednost i na 3 mesta po [inlmath]x[/inlmath] zato ne znam kako da nacrtam grafik. Zato sam pitao koliko slucajeva ima, mnogo toga mi je nejasno. Da crtam svaku ponaosob i onda gde se seku da nadjem resenje ?

Pogledaj ovo.

Može i bez grafičke metode.
Prvo treba da uočiš koje su to „kritične vrednosti“ za svaki od ovih izraza unutar apsolutnih zagrada. To jest, vrednost [inlmath]x[/inlmath] za koju je izraz unutar apsolutne zagrade jednak nuli, jer su to „kandidati“ za lokalne ekstremne vrednosti.
Za [inlmath]\left|2x+1\right|[/inlmath] to bi bilo [inlmath]x=-\frac{1}{2}[/inlmath], za [inlmath]\left|x-3\right|[/inlmath] to bi bilo [inlmath]x=3[/inlmath] i za [inlmath]\left|5x-4\right|[/inlmath] to bi bilo [inlmath]x=\frac{4}{5}[/inlmath].
Zatim napraviš tabelu:
[dispmath]\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline
& x=-\frac{1}{2} & x=3 & x=\frac{4}{5}\\ \hline
\left|2x+1\right| & & & \\ \hline
\left|x-3\right| & & & \\ \hline
\left|5x-4\right| & & & \\ \hline
\left|2x+1\right|+\left|x-3\right|-\left|5x-4\right| & & & \\ \hline
\end{array}[/dispmath]
Kad popuniš tu tabelu, u poslednjoj vrsti tabele ćeš dobiti vrednost funkcije u svakoj od tih kritičnih tačaka. Ostalo je samo da uočiš koja od njih je najveća – i to će biti najveća vrednost te funkcije na celom njenom domenu.

Naravno, potrebno je uveriti se da u [inlmath]-\infty[/inlmath] i u [inlmath]+\infty[/inlmath] vrednost funkcije ide u [inlmath]-\infty[/inlmath], jer, ako bi išla u [inlmath]+\infty[/inlmath], tada ne možemo govoriti o njenoj maksimalnoj vrednosti na celom domenu.

lowzyyy je napisao:Prvo sto nisam razumeo ovde je kako se trazi maksimalna vrednost za linearne jednacine.

Verovatno si hteo da kažeš, linearne funkcije. Same linearne funkcije ne mogu imati ni minimalnu ni maksimalnu vrednost, jer njihova vrednost ide, kako i sâm naziv funkcije kaže, linearno, od [inlmath]-\infty[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath]. Ali, kod funkcija koje imaju apsolutne zagrade u svom izrazu, kao što je ovde slučaj, možemo imati minimalne ili maksimalne vrednosti.

Apsolutna vrednost uvek daje pozitivan rezultat. Moras odrediti kako se gde ponasa grafik funkcije koju si dao, tako sto ces odrediti vrednost za [inlmath]x[/inlmath]. Krenimo od prve apsolutne vrednosti.
[inlmath]|2x+1|[/inlmath] mora davati pozitivan rezultat. Ona i hoce biti pozitivna kada je ceo rezultat veci (ili jednak) nuli. Ako vec daje pozitivan rezultat onda se ne mora ni menjati. Nula ovog izraza je [inlmath]x=-\frac{1}{2}[/inlmath] tako da vazi
[inlmath]x\geq-\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;2x+1[/inlmath] i [inlmath]x\leq-\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;-2x-1[/inlmath]
Ista prica vazi i za ostale dve apsolutne.
[dispmath]|x-3|[/dispmath]
[inlmath]x\geq3\;\Rightarrow\;x-3[/inlmath] i [inlmath]x\leq3\;\Rightarrow\;-x+3[/inlmath]
[dispmath]|5x-4|[/dispmath]
[inlmath]x\geq\frac{4}{5}\;\Rightarrow\;5x-4[/inlmath] i [inlmath]x\leq\frac{4}{5}\;\Rightarrow\;-5x+4[/inlmath]
Sada kada smo definisali kako se koja apsolutna gde ponasa pravimo nove, neverovatne, 4 funkcije. Ja najvise volim to ovako da radim: kazem gde se koja kako ponasa, zapisem uslove od najmanjeg ka najvecoj i pravim. Stoga:
[inlmath]x\leq-\frac{1}{2}[/inlmath]
[dispmath]f_1(x)=-2x-1-x+3-(-5x+4)=2x-2[/dispmath]
[inlmath]\left.x\geq-\frac{1}{2}\;\right/\;x\leq\frac{4}{5}[/inlmath]
[dispmath]f_2(x)=2x+1-x+3-(-5x+4)=6x[/dispmath]
itd...
Onda crtas grafik. Najbolje ti je da ucrtas "mekano" za nule vrednosti i onda postavljas uslov:"Aha, prva funkcija mi vazi za [inlmath]x[/inlmath] manje jednako od [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath]" - povuces lajnu, podebljas funkciju [inlmath]f_1(x)[/inlmath] do [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] lajne. Imaces tri lajne, treba da dobijes cetiri funkcije. Funkcija koja ti graficki udara u lajnu najvise: menjas za [inlmath]x=[/inlmath] pa broj iz kog je povucena lajna. Neretko se desava da stave dve funkcije koje su graficki priblizno na istom mestu (jos ako lose crtas bice ) tako da u obe menjaj vrednost za to [inlmath]x[/inlmath]. To sto dobijes to ti je maksimum. Nadam se da nisam zakomplikovao (mozda imam gresku u racunu - radim iz glave) tako da ako imas pitanje - pucaj.

a moze i kao sto je daniel zapisao, mada radije volim da je vidim nego da mislim

Blago vama ljudi ja ovo nista ne shvatam. Prvi put se susrecem sa ovakvim zadatkom u zivotu. Do pre mesec dana nisam znao kako se najobicnija apsolutna resava jer mi to skoro da nismo ni pominjali..
Ovako, kapiram prvi deo gde nalazimo nule svake funkcije, ali onda dalje mi nije jasno:

1. kod ove tabele uzmem ja lepo popunim do poslednjeg reda, ali ne znam sta pisem u poslednjem ? Sabiram svaku kolonu i unosim ?

2. ovo sto kostur kaze tek ne razumem. Prvi korak samo jedan uslov, drugi korak nije taj vec je suprotan od prvog a onda se ubaci drugi i dokle sve to ide ? Ne kapiram koncept resavanja ni malo

[inlmath]y=|x|[/inlmath]
U ovoj funkciji [inlmath]x[/inlmath] moze biti bilo koji broj na [inlmath]x[/inlmath] osi. Ukoliko je u pitanju tri, vrednost funkcije ce biti [inlmath]3[/inlmath], a ako je u pitanju [inlmath]-3[/inlmath], vrednost funkcije ce opet biti tri. Iz toga, nadam se mozes zakljuciti da vazi
[inlmath]y={\color{red}+}(x)[/inlmath] za [inlmath]x\geq0[/inlmath] i [inlmath]y={\color{red}-}(x)[/inlmath] za [inlmath]x<0[/inlmath]
Jedna apsolutna vrednost davace grafik slican dvema linearnih funkcija, te stoga za [inlmath]x\geq0[/inlmath] ucrtavas [inlmath]y=x[/inlmath] i za [inlmath]x<0[/inlmath] ucrtavas [inlmath]y=-x[/inlmath] te stoga funkcija izgleda ovako. To cu nazvati KAKO NACRTATI FUNKCIJU APSOLUTNE VREDNOSTI

Mozda ne najbolje sroceno, ali cu nastaviti dalje.
Sledeca stvar koju, pretpostavljam, ne razumes je slaganje uslova. Za to koristis brojevnu pravu. Ako imas, recimo [inlmath]x=1[/inlmath] i [inlmath]x=0[/inlmath] mozes zakljuciti da je kec veci od nule. E sad, ako je nesto manje od nule menja se znak apsolutne vrednosti kojoj je [inlmath]x=0[/inlmath], tako da recimo ako je [inlmath]y=|x|[/inlmath] dobices da je to NOVA funkcija [inlmath]y=x[/inlmath] za svako [inlmath]x\leq0[/inlmath]. E sad ako je sve manje od nule promenilo znak na funkciji [inlmath]y=x[/inlmath] mozes utvrditi i da ce promeniti znak na funkciji, recimo [inlmath]f=x-1[/inlmath], jer je njena nula VECA od nule prve funkcije.

I dalje ce postojati prostor izmedju nule i keca u kom se funkcija ipak ponasa drugacije. Funkcija [inlmath]y[/inlmath] ce biti jednaka funkciji [inlmath]y=x[/inlmath], ali iza keca ti je funkcija [inlmath]f=|x-1|[/inlmath] NEGATIVNA, te ce se ona ponasati kao [inlmath]f=-x+1[/inlmath].

Na kraju dolazi uslov da je [inlmath]x\geq1[/inlmath] i obe funkcije se ucrtavaju pozitivno. Kada bi ih sabirao na svim vrednostima unetim dobio bi tri funkcije
[inlmath]f_1=-2x+1[/inlmath]; [inlmath]f_2=1[/inlmath] i [inlmath]f_3=2x-1[/inlmath]
svaku funkciju treba da ucrtas zasebno. Kad je [inlmath]x[/inlmath] manje od nule vazi prva [inlmath]f[/inlmath], tako da je ucrtavas dotle, kada je [inlmath]x[/inlmath] od nule do keca tada vazi druga [inlmath]f[/inlmath], a kada je [inlmath]x[/inlmath] od keca pa nadalje ucrtavas trecu [inlmath]f[/inlmath].
Nadam se da si sad razumeo

Inace ovako izgleda tvoja funkcija

@kostur,
blago upozorenje od strane moderatora:

kostur je napisao:KAKO NACRTATI FUNKCIJU APSOLUTNE VREDNOSTI

Ovim si prekršio Tačku 3. našeg pravilnika.

@desideri
Moja greska, hteo sam da naglasim, ne da ispadne da vicem... Trebalo je italic da ukljucim. Opet, moja greska.

@kostur,
sve u redu.
I ja nekad želim da ponešto naglasim, i meni se omakne tako da boldujem, italičem ili podvlačim.
Ali ne vičem.
Hvala ti puno, postovi su ti po mom mišljenju sjajni
I ne zameri na ovoj sugestiji, molim te, na forumu držimo do toga.

Molim lepo, pravila postoje da bi se postovala, ovo mi je skliznulo sa uma. Da mi niste naglasili ja bih zaboravio i vec bih istu stvar uradio opet, tako da zamerajte sta god da nije u redu, ipak sam nov ovde

Dzabe, razumem ja poentu pojedinacne funkcije, kako se resavaju. Ali kad treba tri apsolutne to ne znam.. Valjda me razumete.. Tacnije kako da sklopim u jednu celinu, jedno resenje

lowzyyy je napisao:1. kod ove tabele uzmem ja lepo popunim do poslednjeg reda, ali ne znam sta pisem u poslednjem ? Sabiram svaku kolonu i unosim ?

Pošto u poslednji red treba da uneseš vrednost [inlmath]\left|2x+1\right|{\color{red}+}\left|x-3\right|{\color{red}-}\left|5x-4\right|[/inlmath], to znači da treba da u svakoj koloni sabereš prvi i drugi red, a zatim od toga oduzmeš treći red.

lowzyyy je napisao:Ali kad treba tri apsolutne to ne znam.. Valjda me razumete.. Tacnije kako da sklopim u jednu celinu, jedno resenje

Moraš da razmatraš odvojeno četiri slučaja. Evo kako to izgleda na primeru crtanja grafika ove funkcije (ako se opredeliš za grafičku metodu rešavanja):

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]\underline{x<-\frac{1}{2}}[/inlmath]
U ovom slučaju su sve tri vrednosti unutar apsolutnih zagrada negativne, što znači da, prilikom oslobađanja apsolutnih zagrada, moramo staviti minus ispred svakog od tih izraza:
[dispmath]-\left(2x+1\right)+\left[-\left(x-3\right)\right]-\left[-\left(5x-4\right)\right]=\cdots=2x-2[/dispmath]
Ovlaš ucrtavamo grafik funkcije [inlmath]f_1\left(x\right)=2x-2[/inlmath], podebljavamo ga na intervalu [inlmath]\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)[/inlmath], budući da je to pretpostavljeni interval ovog razmatranog slučaja:


[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]\underline{-\frac{1}{2}\le x<\frac{4}{5}}[/inlmath]
U ovom slučaju je vrednost [inlmath]2x+1[/inlmath] pozitivna, tako da se u izrazu [inlmath]\left|2x+1\right|[/inlmath] jednostavno možemo osloboditi apsolutne zagrade, a ostale dve vrednosti unutar apsolutnih zagrada su negativne, tako da ih pri oslobađanju apsolutnih zagrada uzimamo s minusom:
[dispmath]2x+1+\left[-\left(x-3\right)\right]-\left[-\left(5x-4\right)\right]=\cdots=6x[/dispmath]
Ovlaš ucrtavamo grafik funkcije [inlmath]f_2\left(x\right)=6x[/inlmath], a podebljavamo ga na intervalu [inlmath]\left[-\frac{1}{2},\frac{4}{5}\right)[/inlmath], budući da je to pretpostavljeni interval ovog razmatranog slučaja:


Prepuštam tebi da, na sličan način, nacrtaš delove grafika za slučajeve [inlmath]III[/inlmath] i [inlmath]IV[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{4}{5}\le x<3[/inlmath] i [inlmath]x\ge3[/inlmath].
Na kraju treba da dobiješ grafik koji izgleda ovako:


Naravno, samo ovaj podebljani deo predstavljaće grafik tražene funkcije. Bledunjavi delovi grafika (oni koji su nacrtani ovlaš) služili su nam samo kao pomoć pri crtanju grafika u pojedinim intervalima.

Sa grafika vidimo da funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] dostiže svoj maksimum za [inlmath]x=\frac{4}{5}[/inlmath]. Znači, maksimalna vrednost funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] iznosiće [inlmath]f\left(\frac{4}{5}\right)=\cdots[/inlmath]

Preporučujem ti da pogledaš i ovaj zadatak, u kojem je takođe pokazan postupak crtanja grafika za funkciju s apsolutnom vrednošću.

Odlicno objasnjeno daniele, ja sam ga inace uradio na papiru (malo manje teksta, malo vise racuna):

http://m.imgur.com/a/FnnfU

Sta znam, mozda nekom pomogne

Kapiram sve sada, mada smo mogli koliko vidim samo da ubacujemo min i max vrednost opsega za odredjeni slucaj i videli bi koja je vrednost najveca.
Zakljucujem da imamo onoliko slucajeva koliko ima apsolutnih izraza pa [inlmath]+1[/inlmath]
Zahvaljujem se svima

lowzyyy je napisao:Kapiram sve sada, mada smo mogli koliko vidim samo da ubacujemo min i max vrednost opsega za odredjeni slucaj i videli bi koja je vrednost najveca.

U principu može i tako, kada unutar apsolutnih zagrada imaš samo linearne izraze, kao što je ovde slučaj. Nemoj samo zaboraviti da proveriš kako se funkcija ponaša u [inlmath]+[/inlmath] i [inlmath]-[/inlmath] beskonačnosti, jer, ako u bilo kojoj od te dve beskonačnosti vrednost funkcije ide u [inlmath]+\infty[/inlmath], tada je besmisleno govoriti o nekoj maksimalnoj vrednosti te funkcije. To može da bude trik-pitanje.

Međutim, ako se unutar apsolutnih zagrada nalazi neki nelinearan izraz, tada i lokalni ekstremi tih funkcija mogu biti „kandidati“ za maksimalnu vrednost cele te funkcije (npr. teme parabole ukoliko unutar apsolutne zagrade imamo neku kvadratnu funkciju).

lowzyyy je napisao:Zakljucujem da imamo onoliko slucajeva koliko ima apsolutnih izraza pa [inlmath]+1[/inlmath]

Tako je.