MATEMANIJA

Pozdrav, imam jedan zadatak koji me nervira: Proizvod najmanje i najvece vrednosti funkcije
[dispmath]f(x)=\frac{1}{2}x^4+\frac{8}{3}x^3-5x^2+6[/dispmath]
na segmentu
[dispmath]\Big[-1,1\Big][/dispmath]
je:
[dispmath]-7[/dispmath]
Nadjem prvi izvod funkcije i dobijem nule [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-5[/inlmath]. Posle kad ove krajnje segmente i nulu zamenim u pocetnoj funkciji ne dobijem tacno resenje.

Da, to je postupak za traženje najmanje i najveće vrednosti funkcije na datom intervalu. Da ga preciziramo:

• Nađu se sve ekstremne vrednosti funkcije na datom intervalu
• Zameni se [inlmath]x[/inlmath] u početnoj i krajnjoj tački intervala i u tim tačkama se računaju vrednosti funkcije.

Ja dobijam maksimalnu vrednost funkcije za [inlmath]x=0[/inlmath], to jest [inlmath]f(x)=6[/inlmath].
Zamenom [inlmath]x=-1[/inlmath] dobijam [inlmath]f(x)=-\frac{7}{6}[/inlmath].
Ovo su najveća i najmanja vrednost funkcije na datom intervalu, a proizvod im je [inlmath]-7[/inlmath].
Ako želiš, napiši svoj postupak, da vidimo i da se "odnerviraš"

Sada mi pade na pamet da si verovatno skratio [inlmath]x[/inlmath] posle prvog izvoda, a trebalo ga je izvući ispred:
[dispmath]f'(x)=x\cdot\left(2x^2+8x-10\right)[/dispmath]
Dakle, može biti i [inlmath]x=0[/inlmath].
Nemojte deliti nulom, nikad.

Izvukao sam ispred [inlmath]x[/inlmath], ali sam nesto izgresio u racunu. Hvala Desideri.

Ja sam uporno gledao da zamenim [inlmath]-5[/inlmath] a to cak ni ne pripada intervalu koji je dat u zadatku, nulu sam potpuno zaboravio.

Ovo je moguce pogresan metod ali taj segment ovuhvata [inlmath]-1,0,1[/inlmath] i sad
[dispmath]f(-1)=\frac{1}{2}-\frac{8}{3}-5+6=-\frac{13}{6}+\frac{6}{6}=-\frac{7}{6}[/dispmath][dispmath]f(0)=6[/dispmath][dispmath]f(1)=\frac{1}{2}+\frac{8}{3}-5+6=\frac{25}{6}[/dispmath]
Jasno je sta je najvece i najmanje i [inlmath]-\frac{7}{6}\cdot6=-7[/inlmath]

JohnLocke je napisao:Ovo je moguce pogresan metod ali taj segment ovuhvata [inlmath]-1,0,1[/inlmath]

Metod je sasvim ispravan, samo treba objasniti zbog čega se ispituju tačke [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Dakle, izjednačavanjem prvog izvoda s nulom dobiju se ekstremne vrednosti u tačkama [inlmath]-5[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Tačku [inlmath]-5[/inlmath] ne razmatramo, jer se nalazi van posmatranog intervala [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath]. Znači, razmatramo tačke [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Takođe, razmatramo i tačke na granicama posmatranog intervala, a to su [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], pri čemu se ova druga poklapa s onom koju ionako razmatramo zbog toga što je to tačka ekstremuma. Dakle, tačke u kojima upoređujemo vrednost funkcije su [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].