MATEMANIJA

Pozdrav... evo rekao sam da ćemo se družit pa tu sam... (mislijo sam i na Čebiševa također)
zanima me jesam li dobro odredio podrucje definicije...
[dispmath]f(x)=\sqrt{-x^2-x+2}+\log_{\frac{1}{x}}(x+1)[/dispmath]
1) uvjet [inlmath](x+1)>0[/inlmath] dobijemo da je [inlmath]x>-1[/inlmath]
2) uvjet [dispmath]\log_{\frac{1}{x}}A=\frac{\log A}{\log_{\frac{1}{x}}}[/dispmath]
iz toga proizlazi [inlmath]\frac{1}{x}>0[/inlmath] odnosno [inlmath]x>0[/inlmath]

3) uvjet [inlmath]\sqrt{-x^2-x+2}>0[/inlmath] mislim da je [inlmath]x[/inlmath] cijeli [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] skup

pa bi podrucje definicije bilo[dispmath]Df=\left<0,\infty\right][/dispmath]
uf što se namučih s ovim latex-om ali barem sada super izgleda...

Hej, pa odlično se snalaziš s Latex-om. Svaka čast!
Dobro, samo si malčice zbrljo kod onog logaritma, stavio si [inlmath]\frac{1}{x}[/inlmath] u osnovu umesto u argument, al' nema veze, lako se provali di treba da stoji...

aab7 je napisao:1) uvjet [inlmath](x+1)> 0[/inlmath] dobijemo da je [inlmath]x>-1[/inlmath]

Tačno.

aab7 je napisao:2) uvjet [dispmath]\log_{\frac{1}{x}}A=\frac{\log A}{\log_{\frac{1}{x}}}[/dispmath]
iz toga proizlazi [inlmath]\frac{1}{x}>0[/inlmath] odnosno [inlmath]x>0[/inlmath]

Jeste, ali moraju da se napomenu još dve stvari. Prvo, [inlmath]x[/inlmath] ne sme biti nula jer se nalazi u imeniocu razlomka [inlmath]\frac{1}{x}[/inlmath], a drugo, i [inlmath]\log\frac{1}{x}[/inlmath] se nalazi u imeniocu ovog razlomka koji si napisao, pa i on mora biti različit od nule, a to će biti za [inlmath]\frac{1}{x}\ne 1[/inlmath], tj. za [inlmath]x\ne 1[/inlmath].
Inače, ne moraš vršiti ove transformacije logaritma. Dovoljno je da zapamtiš da kod logaritma oblika [inlmath]\log_a b[/inlmath] mora biti [inlmath]b>0[/inlmath], [inlmath]a>0[/inlmath], [inlmath]a\ne 1[/inlmath]. (Osnova logaritma ne sme biti jedinica, jer bismo u tom slučaju tražili na koji stepen treba dići jedinicu da bismo dobili neki određen broj, a, kao što znamo, jedinica dignuta na bilo koji stepen ostaje – jedinica.)

aab7 je napisao:3) uvjet [inlmath]\sqrt{-x^2-x+2}>0[/inlmath] mislim da je [inlmath]x[/inlmath] cijeli [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] skup pa bi podrucje definicije bilo[dispmath]Df=\left<0,\infty\right][/dispmath]

Pa, neće biti. Kad rešiš kvadratnu jednačinu [inlmath]-x^2-x+2>0[/inlmath], dobićeš da postoje dve nule, [inlmath]x_1=-2[/inlmath] i [inlmath]x_2=1[/inlmath]. Pošto je koeficijent uz kvadratni član negativan, funkcija će imati teme okrenuto nagore, tako da će joj pozitivne vrednosti biti između ove dve nule, tj. [inlmath]x\in\left(-2,1\right)[/inlmath].
(BTW, kad bi x pripadalo celom skupu R, to se ne bi pisalo [inlmath]<0,\infty][/inlmath], već [inlmath]\left(-\infty,\infty\right)[/inlmath].)


Na kraju, kad skupimo na gomilu sve ove uslove
[dispmath]x>-1,\quad x>0,\quad x\ne 0,\quad x\ne 1,\quad x\in\left(-2,1\right)[/dispmath]
i nađemo njihov presek, dobićemo oblast definisanosti
[dispmath]x\in\left(0,1\right)[/dispmath]

Tnx na rješenju...
ma ono šta me je i mučilo je bija onaj minus kod [inlmath]x^2[/inlmath] u [inlmath]\sqrt{-x^2-x+2}[/inlmath],
doma u rješenju sam i tražija nul-točke [inlmath]x_1,x_2[/inlmath] i našao ih, al kako ovo izvodim samo računski bez razmišljanja kako funkcija izgleda tako i zanemarim neke stvari...
takodjer ovaj korjen me navukao na krivo rješenje jer funkcija korjena je definirana [inlmath]Df=\left[0,\infty\right>[/inlmath]
nisam bio siguran je li minus utječe na to jer kad se kvadrira bilo koji broj s minusom on postaje pozitivan...zbog toga sam i napisao cijeli [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] skup...
a [inlmath]Df=\left<0,\infty\right][/inlmath] je bilo ukupno rješenje ali očito krivo...

aab7 je napisao:takodjer ovaj korjen me navukao na krivo rješenje jer funkcija korjena je definirana [inlmath]Df=\left[0,\infty\right>[/inlmath]
nisam bio siguran je li minus utječe na to jer kad se kvadrira bilo koji broj s minusom on postaje pozitivan...zbog toga sam i napisao cijeli [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] skup...

Da, bilo koji broj kad se kvadrira postaje pozitivan (ili, eventualno, nula ako je bio nula), ali nemoj to mešati sa slučajem kao što je ovaj, u kome se minus nalazi ispred već kvadriranog broja. Znači, jedno je kad imamo minus ispred nekog broja pa zatim kvadriranje, onda se i minus kvadrira pa postaje plus, a drugo je kad imamo prvo kvadriranje pa zatim dodavanje minusa. U ovom drugom slučaju rezultat će uvek biti negativan (ili, eventualno, nula), jer smo minus dodali ispred broja koji je uvek pozitivan (ili, eventualno, nula).

A druga stvar, ne možeš znak cele kvadratne funkcije određivati samo na osnovu prvog sabirka, u osvom slučaju [inlmath]-x^2[/inlmath]. Sve i da je taj sabirak uvek pozitivan, imamo i preostala dva sabirka, koji mogu uticati na znak vrednosti funkcije.

Sve što treba zapamtiti to je da, kad je koeficijent uz kvadratni član negativan, kvadratna funkcija ima oblik „tužnog smajlija“ tj. s temenom okrenutim nagore, pa će biti pozitivna kada je [inlmath]x[/inlmath] između dve nule [inlmath]\left(x_1<x<x_2\right)[/inlmath], a za ostale vrednosti promenljive [inlmath]x[/inlmath] je negativna. Obrnuto je kad je koeficijent uz kvadratni član pozitivan, tada funkcija ima oblik „srećnog smajlija“ s temenom okrenutim nadole, pa će pozitivne vrednosti imati kad je [inlmath]x<x_1\;\lor\;x>x_2[/inlmath]. I to je cela „mudrolija“ rešavanja kvadratnih nejednačina.

Područje definicije
[dispmath]f(x)=\mathrm{arctg}(x+2)-\ln (-x)[/dispmath]
Ako je tanges definiran po [inlmath]x[/inlmath] osi za brojeve od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath], njegov arcus je onda definiran za sve realne brojeve po [inlmath]x[/inlmath] osi?

I još [inlmath]-x>0[/inlmath] tj [inlmath]x>0[/inlmath]

I šta sad?

Što se tiče [inlmath]\mathrm{arctg}[/inlmath], tu ne postoji nikakvo ograničenje, tj. domena arkus tangesna je [inlmath]\left<-\infty,+\infty\right>[/inlmath].

Argument [inlmath]\ln[/inlmath]-a mora biti veći od nule, i to si dobro napisao. Međutim, što se dogodi kad se rješiš minusa? Prema pravilu, okrene se i znak
Prema tome, neće biti [inlmath]x>0[/inlmath] nego [inlmath]x<0[/inlmath]. Iz toga slijedi da su u domeni svi negativni realni brojevi, tj. vrijedi [dispmath]Df=\left<-\infty,0\right>.[/dispmath]

I još
[dispmath]f(x)=\arcsin\left(\log\frac{x}{10}\right)[/dispmath]
Je li tu izraz [inlmath]\log\frac{x}{10}[/inlmath] veći od [inlmath]-1[/inlmath], a manji od [inlmath]1[/inlmath] ?

I [inlmath]x>0[/inlmath] ?

[dispmath]f(x)=\sqrt{\sin x}\\
\sin x\ge 0[/dispmath]
Dakle [inlmath]x[/inlmath] je element [inlmath][0,\pi][/inlmath]

Hmm???

[dispmath]f(x)=\log_s\left(x^2+2x-3\right)\\
D(f)=\left<-\infty,-3\right>\cup\left<1,+\infty\right>[/dispmath]
Mora bit neka caka sa slovom u bazi...hm...

?_?

eseper je napisao:Međutim, što se dogodi kad se rješiš minusa? Prema pravilu, okrene se i znak

OMS
Jedno lito i sve već zaboravija >.>

blake je napisao:I još
[dispmath]f(x)=\arcsin\left(\log\frac{x}{10}\right)[/dispmath]
Je li tu izraz [inlmath]\log\frac{x}{10}[/inlmath] veći od [inlmath]-1[/inlmath], a manji od [inlmath]1[/inlmath] ?

I [inlmath]x>0[/inlmath] ?

Tako je. Izračunaš točke, sve presječeš i dobiješ domenu bez problema

blake je napisao:[dispmath]f(x)=\sqrt{\sin x}\\
\sin x\ge 0[/dispmath]
Dakle [inlmath]x[/inlmath] je element [inlmath][0,\pi][/inlmath]

Hmm???

Sinus je periodična funkcija...

blake je napisao:Ako je tanges definiran po [inlmath]x[/inlmath] osi za brojeve od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath], njegov arcus je onda definiran za sve realne brojeve po [inlmath]x[/inlmath] osi?

Područje definicije tangensa nije od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath], već od [inlmath]-\frac{\pi}{2}[/inlmath] do [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], pa od [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] do [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath], pa od [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath] do [inlmath]\frac{5\pi}{2}[/inlmath] itd... To jest, područje definicije mu je [inlmath]\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\right\}[/inlmath]

Međutim, kad gledaš područje definicije arkus tangensa, ništa ti tu sam tangens ne govori, budući da arkus tangens nije inverzna funkcija tangensa. Tangens nije injektivna funkcija (naravno, čim je periodična), pa ne može imati svoju inverznu funkciju. Zato je dogovorom usvojeno da arkus tangens bude inverzna funkcija one funkcije koja bi u intervalu [inlmath]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][/inlmath] imala vrednost tangensa na tom intervalu, a van tog intervala ne bi bila definisana. Tako definisana funkcija bi bila injektivna i, kao takva, imala bi svoju inverznu funkciju i to bi bio arkus tangens.
Ista priča, naravno, važi i za sinus, kosinus i kotangens.

blake je napisao:[dispmath]f(x)=\arcsin\left(\log\frac{x}{10}\right)[/dispmath]
Je li tu izraz [inlmath]\log\frac{x}{10}[/inlmath] veći od [inlmath]-1[/inlmath], a manji od [inlmath]1[/inlmath] ?

Veći ili jednak [inlmath]-1[/inlmath], a manji ili jednak [inlmath]1[/inlmath].

blake je napisao:[dispmath]f(x)=\log_s\left(x^2+2x-3\right)\\
D(f)=\left<-\infty,-3\right>\cup\left<1,+\infty\right>[/dispmath]
Mora bit neka caka sa slovom u bazi...hm...

Da, [inlmath]s>0\;\land\;s\ne 1[/inlmath].