MATEMANIJA

Pozdrav svima, trebala bi mi pomoc u resavanju 6. i 7. tacke koren funckije tj. monotonost i konveksnost (prvi i drugi izvodi).

Konkretno zadatak koji trenutno radim glasi: Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: [inlmath]x+1-\sqrt{x^2-x}[/inlmath]

Generalno razumem ove dve tacke, kada klasicno pravim tablicu itd... medjutim ovde je to nemoguce i mahom svi koji su mi slali neka resenja nisu uspeli dovoljno dobro da mi pojasne sta i kako. Konkretno kada posle uradjenog prvog izvoda (za monotonost) dobijem: [inlmath]\displaystyle\frac{2\sqrt{x^2-x}-2x+1}{2\sqrt{x^2-x}}[/inlmath] , kada radim za izraz gore kada je veci od nule dobijem da je [inlmath]0>1[/inlmath] i tu se pogubim.

Hvala unapred!

Nejednacina [inlmath]2\sqrt{x^2-x}-2x+1>0[/inlmath] ima realnih resenja. S obzirom na to da ti dolazis u kontradikciju s pretpostavkom da je tvoj brojilac veci strogo od nule (tj. da ta nejednacina nema resenja), to onda ne bi bilo lose da nam i pokazes tvoj postupak (pa cemo videti gde je greska).

Koliko sam razumeo, tvoje pitanje se, zapravo, svodi na to kako rešiti nejednačinu [inlmath]2\sqrt{x^2-x}-2x+1>0[/inlmath]?

Mislim da znam i koju si grešku napravio. Prvo si prebacio [inlmath]-2x+1[/inlmath] na desnu stranu, što je OK, dobivši
[dispmath]2\sqrt{x^2-x}>2x-1[/dispmath]
ali si sada jednostavno kvadrirao obe strane, dobivši [inlmath]\cancel{4x^2}-\cancel{4x}>\cancel{4x^2}-\cancel{4x}+1[/inlmath], zaboravivši da se kvadriranjem gubi informacija o predznaku leve i desne strane i da je zbog toga neophodno da pre kvadriranja komentarišeš predznake.
(Ovo je sve trebalo u svom pitanju ti da napišeš, umesto što ja sad nagađam kako je išao tvoj postupak, no dobro.)

Dakle, kad smo došli pred samo kvadiranje:
[dispmath]2\sqrt{x^2-x}>2x-1[/dispmath]
zapažamo sledeće. Leva strana je uvek pozitivna (ili, eventualno, nula – to se onda kaže da je nenegativna). Desna strana je manja od leve strane. A to znači, pošto je leva strana [inlmath]\ge0[/inlmath], da će nejednakost biti sigurno zadovoljena onda kada je desna strana manja od nule, tako da je [inlmath]2x-1<0[/inlmath] jedna mogućnost za rešenje ove jednačine. Drugu mogućnost dobijamo kvadriranjem obe strane, što si ti i učinio, i dobio [inlmath]0<1[/inlmath], što znači da taj slučaj nema rešenja. Da je i taj slučaj imao rešenja, tražili bismo uniju ta dva dobijena skupa rešenja, a ovako ostaje samo [inlmath]2x-1<0[/inlmath], tj. [inlmath]x<\frac{1}{2}[/inlmath].

Naravno, pošto je potrebno da bude zadovoljen i uslov nenegativnosti potkorene veličine, a za taj uslov se dobije [inlmath]x\le0\;\lor\;x\ge1[/inlmath], kao konačno rešenje ove nejednačine imamo [inlmath]x\le0[/inlmath].


O rešavanju raznih slučajeva ovakvih iracionalnih nejednačina možeš pogledati ovaj i ovaj post.

EDIT
@Onomatopeja, sorry, tek kad sam objavio post videh da si ti već odgovorio, no bi mi glupo da brišem ovo kad sam se već ovako raspisao.

Naravno Daniele, tvoj post je dosta detaljniji i konkretniji, te bi bilo zaista lose da si ga izbrisao jer sam ja postovao pre tebe.

Da, zaboravio sam da spomenem domen i uslov [inlmath]2x-1<0[/inlmath], sorry.

Na ovoj slici je postupak koji nisam mogao da razumem:

Tacnije, ovo: "Kako je ovo netacno, dobijamo da je [inlmath]f'(x)<0[/inlmath] za [inlmath]x\ge1[/inlmath], a vece od nule za [inlmath]x\le0[/inlmath]."

Sada sam razumeo sta i na koji nacin se posmatra, hvala!

Btw. hteo bih da pitam da li je pravilno resavati monotonost tako sto se posle odradjenog izvoda, rade dva [inlmath]f'(x)[/inlmath] gde se umesto [inlmath]x[/inlmath] stavlja jedan broj levo i jedan broj desno od nule (pod nulom mislim na presek sa [inlmath]x[/inlmath] osom koji je u ovom slucaju [inlmath]-1[/inlmath]). I na taj nacin ukoliko je [inlmath]f'(0)[/inlmath] recimo pozitivan, znaci da funkcija raste desno do nule. Vidjao sam da neki tako rade.

Pozdrav i hvala jos jednom!

Unique je napisao:Btw. hteo bih da pitam da li je pravilno resavati monotonost tako sto se posle odradjenog izvoda, rade dva [inlmath]f'(x)[/inlmath] gde se umesto [inlmath]x[/inlmath] stavlja jedan broj levo i jedan broj desno od nule (pod nulom mislim na presek sa [inlmath]x[/inlmath] osom koji je u ovom slucaju [inlmath]-1[/inlmath]). I na taj nacin ukoliko je [inlmath]f'(0)[/inlmath] recimo pozitivan, znaci da funkcija raste desno do nule. Vidjao sam da neki tako rade.

Po meni, to je dosta nesiguran način i ja ga lično izbegavam. Granica između pozitivnih i negativnih vrednosti izvoda ne mora obavezno biti nula tog izvoda – može biti i tačka ili oblast u kojoj taj izvod nije definisan, a i sâm izvod može imati prekid (nagli skok iz minusa u plus, ili nagli pad iz plusa u minus, bez presecanja [inlmath]x[/inlmath]-ose).

Da li bi mogao da mi pokazes postupak za znak ove funkcije? Ono kada je [inlmath]y>0[/inlmath] i kada je [inlmath]y<0[/inlmath]

Ja sam to isto radio tako sto odradim [inlmath]f(0)[/inlmath] i [inlmath]f(-2)[/inlmath] pa prema tome odredim.

Predpostavljam da ni to nije potpuno korektno?

Pa, i nije. Hajde, pokušaj ti, na ovaj način na koji sam ti rekao, napiši ovde postupak, pa ćemo ti reći da l' je OK.
Znači, kreneš od [inlmath]f\left(x\right)>0[/inlmath] (ispituješ za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] je vrednost funkcije pozitivna), to jest
[dispmath]x+1-\sqrt{x^2-x}>0[/dispmath]
Prebaciš koren na desnu stranu,
[dispmath]x+1>\sqrt{x^2-x}[/dispmath]
i onda radiš prema uputstvu s onih tema koje sam ti linkovao. Ako se negde „zaglaviš“, pitaj slobodno, ali obavezno pokaži dokle si stigao.


P.S. Pravilno je pretpostavljam, a ne predpostavljam (jednačenje po zvučnosti).

[dispmath]\left.x+1>\sqrt{x^2-x}\quad\right/^2[/dispmath][dispmath]x^2+2x+1>x^2-x\\
3x>-1\\
x>-\frac{1}{3}[/dispmath][dispmath]\begin{cases}
D:\;\left(-\infty,0\right]\cup\left[1,+\infty\right)\\
x+1>0\\
x>-1
\end{cases}[/dispmath]

[dispmath]y>0\quad\forall x\in\left(-\frac{1}{3},0\right]\cup\left[1,+\infty\right)[/dispmath]

A jel' bilo teško ovih nekoliko redova otkucati u Latexu?
Molim te da (još jednom, ukoliko već jesi) pročitaš tačku 14. Pravilnika.

Da, postavio si sve potrebne uslove i rešenje je tačno.