MATEMANIJA

Pozdrav svima, trebala bi mi pomoc u resavanju 6. i 7. tacke koren funckije tj. monotonost i konveksnost (prvi i drugi izvodi).

Konkretno zadatak koji trenutno radim glasi: Ispitati tok i skicirati grafik funkcije: [inlmath]x+1-\sqrt{x^2-x}[/inlmath]

Generalno razumem ove dve tacke, kada klasicno pravim tablicu itd... medjutim ovde je to nemoguce i mahom svi koji su mi slali neka resenja nisu uspeli dovoljno dobro da mi pojasne sta i kako. Konkretno kada posle uradjenog prvog izvoda (za monotonost) dobijem: [inlmath]\displaystyle\frac{2\sqrt{x^2-x}-2x+1}{2\sqrt{x^2-x}}[/inlmath] , kada radim za izraz gore kada je veci od nule dobijem da je [inlmath]0>1[/inlmath] i tu se pogubim.

Hvala unapred!

Nejednacina [inlmath]2\sqrt{x^2-x}-2x+1>0[/inlmath] ima realnih resenja. S obzirom na to da ti dolazis u kontradikciju s pretpostavkom da je tvoj brojilac veci strogo od nule (tj. da ta nejednacina nema resenja), to onda ne bi bilo lose da nam i pokazes tvoj postupak (pa cemo videti gde je greska).

Koliko sam razumeo, tvoje pitanje se, zapravo, svodi na to kako rešiti nejednačinu [inlmath]2\sqrt{x^2-x}-2x+1>0[/inlmath]?

Mislim da znam i koju si grešku napravio. Prvo si prebacio [inlmath]-2x+1[/inlmath] na desnu stranu, što je OK, dobivši
[dispmath]2\sqrt{x^2-x}>2x-1[/dispmath]
ali si sada jednostavno kvadrirao obe strane, dobivši [inlmath]\cancel{4x^2}-\cancel{4x}>\cancel{4x^2}-\cancel{4x}+1[/inlmath], zaboravivši da se kvadriranjem gubi informacija o predznaku leve i desne strane i da je zbog toga neophodno da pre kvadriranja komentarišeš predznake.
(Ovo je sve trebalo u svom pitanju ti da napišeš, umesto što ja sad nagađam kako je išao tvoj postupak, no dobro.)

Dakle, kad smo došli pred samo kvadiranje:
[dispmath]2\sqrt{x^2-x}>2x-1[/dispmath]
zapažamo sledeće. Leva strana je uvek pozitivna (ili, eventualno, nula – to se onda kaže da je nenegativna). Desna strana je manja od leve strane. A to znači, pošto je leva strana [inlmath]\ge0[/inlmath], da će nejednakost biti sigurno zadovoljena onda kada je desna strana manja od nule, tako da je [inlmath]2x-1<0[/inlmath] jedna mogućnost za rešenje ove jednačine. Drugu mogućnost dobijamo kvadriranjem obe strane, što si ti i učinio, i dobio [inlmath]0<1[/inlmath], što znači da taj slučaj nema rešenja. Da je i taj slučaj imao rešenja, tražili bismo uniju ta dva dobijena skupa rešenja, a ovako ostaje samo [inlmath]2x-1<0[/inlmath], tj. [inlmath]x<\frac{1}{2}[/inlmath].

Naravno, pošto je potrebno da bude zadovoljen i uslov nenegativnosti potkorene veličine, a za taj uslov se dobije [inlmath]x\le0\;\lor\;x\ge1[/inlmath], kao konačno rešenje ove nejednačine imamo [inlmath]x\le0[/inlmath].


O rešavanju raznih slučajeva ovakvih iracionalnih nejednačina možeš pogledati ovaj i ovaj post.

EDIT
@Onomatopeja, sorry, tek kad sam objavio post videh da si ti već odgovorio, no bi mi glupo da brišem ovo kad sam se već ovako raspisao.

Naravno Daniele, tvoj post je dosta detaljniji i konkretniji, te bi bilo zaista lose da si ga izbrisao jer sam ja postovao pre tebe.

Da, zaboravio sam da spomenem domen i uslov [inlmath]2x-1<0[/inlmath], sorry.

Na ovoj slici je postupak koji nisam mogao da razumem:

Tacnije, ovo: "Kako je ovo netacno, dobijamo da je [inlmath]f'(x)<0[/inlmath] za [inlmath]x\ge1[/inlmath], a vece od nule za [inlmath]x\le0[/inlmath]."

Sada sam razumeo sta i na koji nacin se posmatra, hvala!

Btw. hteo bih da pitam da li je pravilno resavati monotonost tako sto se posle odradjenog izvoda, rade dva [inlmath]f'(x)[/inlmath] gde se umesto [inlmath]x[/inlmath] stavlja jedan broj levo i jedan broj desno od nule (pod nulom mislim na presek sa [inlmath]x[/inlmath] osom koji je u ovom slucaju [inlmath]-1[/inlmath]). I na taj nacin ukoliko je [inlmath]f'(0)[/inlmath] recimo pozitivan, znaci da funkcija raste desno do nule. Vidjao sam da neki tako rade.

Pozdrav i hvala jos jednom!

Unique je napisao:Btw. hteo bih da pitam da li je pravilno resavati monotonost tako sto se posle odradjenog izvoda, rade dva [inlmath]f'(x)[/inlmath] gde se umesto [inlmath]x[/inlmath] stavlja jedan broj levo i jedan broj desno od nule (pod nulom mislim na presek sa [inlmath]x[/inlmath] osom koji je u ovom slucaju [inlmath]-1[/inlmath]). I na taj nacin ukoliko je [inlmath]f'(0)[/inlmath] recimo pozitivan, znaci da funkcija raste desno do nule. Vidjao sam da neki tako rade.

Po meni, to je dosta nesiguran način i ja ga lično izbegavam. Granica između pozitivnih i negativnih vrednosti izvoda ne mora obavezno biti nula tog izvoda – može biti i tačka ili oblast u kojoj taj izvod nije definisan, a i sâm izvod može imati prekid (nagli skok iz minusa u plus, ili nagli pad iz plusa u minus, bez presecanja [inlmath]x[/inlmath]-ose).

Da li bi mogao da mi pokazes postupak za znak ove funkcije? Ono kada je [inlmath]y>0[/inlmath] i kada je [inlmath]y<0[/inlmath]

Ja sam to isto radio tako sto odradim [inlmath]f(0)[/inlmath] i [inlmath]f(-2)[/inlmath] pa prema tome odredim.

Predpostavljam da ni to nije potpuno korektno?

Pa, i nije. Hajde, pokušaj ti, na ovaj način na koji sam ti rekao, napiši ovde postupak, pa ćemo ti reći da l' je OK.
Znači, kreneš od [inlmath]f\left(x\right)>0[/inlmath] (ispituješ za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] je vrednost funkcije pozitivna), to jest
[dispmath]x+1-\sqrt{x^2-x}>0[/dispmath]
Prebaciš koren na desnu stranu,
[dispmath]x+1>\sqrt{x^2-x}[/dispmath]
i onda radiš prema uputstvu s onih tema koje sam ti linkovao. Ako se negde „zaglaviš“, pitaj slobodno, ali obavezno pokaži dokle si stigao.


P.S. Pravilno je pretpostavljam, a ne predpostavljam (jednačenje po zvučnosti).

[dispmath]\left.x+1>\sqrt{x^2-x}\quad\right/^2[/dispmath][dispmath]x^2+2x+1>x^2-x\\
3x>-1\\
x>-\frac{1}{3}[/dispmath][dispmath]\begin{cases}
D:\;\left(-\infty,0\right]\cup\left[1,+\infty\right)\\
x+1>0\\
x>-1
\end{cases}[/dispmath]

[dispmath]y>0\quad\forall x\in\left(-\frac{1}{3},0\right]\cup\left[1,+\infty\right)[/dispmath]

A jel' bilo teško ovih nekoliko redova otkucati u Latexu?
Molim te da (još jednom, ukoliko već jesi) pročitaš tačku 14. Pravilnika.

Da, postavio si sve potrebne uslove i rešenje je tačno.

Taman sam vec postovao i video tek onda da su slike samo za grafike i skice. Koristio bih latex da sam slao sam ovaj deo sa kvadriranjem itd, ali mislio sam da je bolje da bude slika zbog preseka resenja tj. unija. Ne znam kako bih to predstavio bas preko latex-a... izvinjam vam se svakako. Editovao bih da mogu.

Hvala jos jednom za pomoc.

Pa dobro, svakako mozes prekucati u novom postu. Editovanje je dozvoljeno u prvih 15 minuta. Generalno sve sa slike se moze prekucati u Latex, sem grafickog prikaza preseka resenja (sto se ne mora prikazati graficki).

Da ne otvaram novu temu... tice se isto koren funkcije tj. resavanja iracionalne nejednacine kod monotonosti.
[dispmath]2\sqrt{x^2+x+1}-2x-1<0\\
2\sqrt{x^2+x+1}<2x+1[/dispmath]
Uslov: [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] iz domena i [inlmath]\displaystyle x>-\frac{1}{2}[/inlmath]

Nakon kvadriranja dobijem:
[dispmath]4x^2+4x+4<4x^2+4x+1[/dispmath]
I posle sredjivanja:
[dispmath]4<1[/dispmath]
Sledi da je: [inlmath]f'(x)<0[/inlmath] za [inlmath]\displaystyle x>-\frac{1}{2}[/inlmath]

Da li sam ovo dobro uradio?

Nisi. Tražio si uniju rešenja, umesto da tražiš njihov presek. Prouči još jednom one slučajeve na temama koje ti linkovah – kada je potrebno tražiti uniju, a kada presek rešenja.

To znaci da posmatram onda

i presek je

Ispada da je

Da li je sad ok?

Nije OK... Odakle ti se sad pojavilo [inlmath]x>0[/inlmath]?

Pa mislio sam da ako je domen [inlmath]R[/inlmath] a to je [inlmath](-\infty,+\infty)[/inlmath], da onda uzimam samo ovo desno tj. [inlmath]x>0[/inlmath]

Ali ako je [inlmath]R[/inlmath], onda je valjda uvek vece od nule? Nemam pojma kako da uradim presek takvog domena sa [inlmath]\displaystyle x>-\frac{1}{2}[/inlmath]

Funkcija je rastuca na celom svom domenu, a asimptotski ce se priblizavati pravoj [inlmath]\displaystyle y=\frac{3}{2}[/inlmath] (jer je to horiznontalna asimptota, kad [inlmath]x[/inlmath] tezi pozitivnoj beskonacnosti).

To sam shvatio kada sam uneo funkciju u wolframalpha ali kako da ja dodjem konkretno do tog zakljucka da je rastuca na celom svom domenu pri radjenju monotonosti? Bio bih zahvalan ako bi mi pokazali vas postupak.

Pa za prvi izvod dobijes:
[dispmath]f'(x)=\frac{2\sqrt{x^2+x+1}-2x-1}{2\sqrt{x^2+x+1}}[/dispmath]
Imenilac je uvek veci od nule na [inlmath]Df[/inlmath], te stoga ispitujes samo brojilac, kao sto si i zakljucio. Da bi video da li postoje ekstremne vrednosti prvi izvod izjednacavas sa nulom. Dakle, brojilac izjednacavas sa nulom.
[dispmath]2\sqrt{x^2+x+1}-2x-1=0[/dispmath]
Ovo je iracionala jednacina koja nema resenja, tj. nijedno [inlmath]x[/inlmath] ne zadovoljava jednakost. Iz toga sledi da ne postoje ekstremne vrednosti, odnosno da je funkcija ili rastuca ili opadajuca na celom svom domenu. Dalje da bi odredio intervale monotonosti, resevas npr. [inlmath]f'(x)>0[/inlmath], odnosno
[dispmath]2\sqrt{x^2+x+1}-2x-1>0[/dispmath]
cije je resenje [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]. Dakle brojilac je veci od nule za svako [inlmath]x[/inlmath] iz domena, iz cega sledi da je funkcija rastuca na celom domenu.

E sad, tvoj problem je koliko vidim u resavanju iracionalnih jednacina i nejednacina i trazenju preseka resenja.

Unique je napisao:Pa mislio sam da ako je domen [inlmath]R[/inlmath] a to je [inlmath](-\infty,+\infty)[/inlmath], da onda uzimam samo ovo desno tj. [inlmath]x>0[/inlmath]

Ali, opet nisam razumeo, na osnovu čega? Kojom logikom?

Unique je napisao:Ali ako je [inlmath]R[/inlmath], onda je valjda uvek vece od nule?

Skup [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] obuhvata i brojeve veće od nule, i nulu, i brojeve manje od nule. Znači, ne samo brojeve veće od nule.
Ili ja ne razumem šta želiš da kažeš.

Ilija je napisao:Funkcija je rastuca na celom svom domenu, a asimptomatski ce se priblizavati pravoj [inlmath]\displaystyle y=\frac{3}{2}[/inlmath] (jer je to horiznontalna asimptota, kad [inlmath]x[/inlmath] tezi pozitivnoj beskonacnosti).

Ilija je napisao:Pa za prvi izvod dobijes:
[dispmath]f'(x)=\frac{2\sqrt{x^2+x+1}-2x-1}{2\sqrt{x^2+x+1}}[/dispmath]

Ja se izvinjavam, ali o kojoj funkciji vi zapravo govorite?

Daniel je napisao:Ja se izvinjavam, ali o kojoj funkciji vi zapravo govorite?

[dispmath]x+2-\sqrt{x^2+x+1}[/dispmath]

@Unique je ovde otpoceo sa drugim primerom. Nadam se da su svi taj deo ispratili.

Unique je napisao:Da ne otvaram novu temu... tice se isto koren funkcije tj. resavanja iracionalne nejednacine kod monotonosti.

Doduse napisao je samo onaj deo koji ispituje kod prvog izvoda, a ne citav prvi izvod ili pak, samu funkciju. Funkcija glasi [inlmath]f(x)=x+2-\sqrt{x^2+x+1}[/inlmath].

OK, nisam nigde video da je navedena funkcija, već samo njen prvi izvod (deo njenog prvog izvoda)... Ili mi je promaklo...

Pitao me je Ilija posebno putem PP-a o kojoj se funkciji radi. Izvinjavam se, trebao sam odmah napisati i samu funkciju.

Elem, ako je u ovom slucaju funkcija uvek monotono rastuca, u kom slucaju bi bila uvek monotono opadujaca?

I Daniele, da li mozes molim te da mi pokazes postupak onog preseka o kom si pricao posto ocigledno ne kapiram nista oko toga.

Unique je napisao:Elem, ako je u ovom slucaju funkcija uvek monotono rastuca, u kom slucaju bi bila uvek monotono opadujaca?

Pitaš za ovu funkciju, ili uopšte, za bilo koju funkciju? Ova funkcija će, kako ti je i Ilija rekao, biti uvek (tj. na svim intervalima) monotono rastuća. Ni u jednom intervalu neće biti monotono opadajuća.

Unique je napisao:I Daniele, da li mozes molim te da mi pokazes postupak onog preseka o kom si pricao posto ocigledno ne kapiram nista oko toga.

Vidi, nije fora u tome da ti ja pokažem postupak. Slične postupke već imaš na onim zadacima koje sam ti linkovao, samo treba to, pre svega, da razumeš i da s razumevanjem primeniš ovde.
Nećeš imati nikakve koristi od toga ako ti ja sad pokažem postupak i za ovaj zadatak, kad će ti na ispitu doći neki treći zadatak. Potrebno je, dakle, da razumeš princip, na osnovu kojeg ćeš umeti svaki ovakav zadatak da rešiš.
Za početak, pitao sam te

Daniel je napisao:

Unique je napisao:Pa mislio sam da ako je domen [inlmath]R[/inlmath] a to je [inlmath](-\infty,+\infty)[/inlmath], da onda uzimam samo ovo desno tj. [inlmath]x>0[/inlmath]

Ali, opet nisam razumeo, na osnovu čega? Kojom logikom?

Unique je napisao:Ali ako je [inlmath]R[/inlmath], onda je valjda uvek vece od nule?

Skup [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] obuhvata i brojeve veće od nule, i nulu, i brojeve manje od nule. Znači, ne samo brojeve veće od nule.
Ili ja ne razumem šta želiš da kažeš.

na šta mi nisi odgovorio, a ja bih želeo da prvo ovo razjasnimo kako bih znao na koji način si razmišljao i time ti pomogao da otkoniš greške u svom rezonovanju.

Daniel je napisao:

Unique je napisao:Elem, ako je u ovom slucaju funkcija uvek monotono rastuca, u kom slucaju bi bila uvek monotono opadujaca?

Pitaš za ovu funkciju, ili uopšte, za bilo koju funkciju? Ova funkcija će, kako ti je i Ilija rekao, biti uvek (tj. na svim intervalima) monotono rastuća. Ni u jednom intervalu neće biti monotono opadajuća.

Pitam za ovu konkretno.

I sad ovo oko monotonosti... ja bih ti odgovorio i objasnio nego ni sam vise ne znam kako da se izrazim.

Da se vratim na pocetak gde sam se izgubio kada sam gledao kada je: [inlmath]\sqrt{x^2+x+1}\ge0[/inlmath]

Videvsi da je [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] resenje, pomislio sam da je to onda uvek [inlmath]>0[/inlmath]

Drugi uslov nije sporan, [inlmath]2x+1>0[/inlmath]

Nego, kada treba oba da stavim na onu liniju gde im odredjujem smer strelicom (nakon cega se gleda presek i unija), ja ne znam kako uopste da stavim i prikazem ovo pod korenom? Jer nakon kvadriranja dobijam netacnu konstataciju, tako da posmatram samo Domen (ovo pod korenom) i ovaj uslov koji sam vec spomenuo.

Unique je napisao:Elem, ako je u ovom slucaju funkcija uvek monotono rastuca, u kom slucaju bi bila uvek monotono opadujaca?
Pitam za ovu konkretno.

Pa @Unique covece. Ovo zaista vise nema smisla. Ponovicu i Danielov i svoj prethodno napisan post. Znaci ova funkcija je monotono rastuca na celom svom domenu - dakle, ni u jednom slucaju ova funkcija ne moze biti monotono opadajuca. Ne znam sta komplikujes bezveze.

A dobro, kada bi onda uopsteno neka funkcija bila monotono opadajuca na celom svom domenu? Nema potebe tako drsko da mi odgovaras kada je ocigledno da apsolutno ne razumem veci deo toga sto mi pricas.

Znaci, ako je funckija definisana na nekom intervalu [inlmath][a,b][/inlmath] i diferencijabilna na intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath], tada je ona monotono opadajuca na intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath] akko je za svako [inlmath]x[/inlmath] iz tog intervala prvi izvod funkcije strogo manji od nule.

---

Mislim da si zaista dobio i preveliku pomoc, pa bih moderatorima predlozio temu za zakljucavanje, jer ovo zaista vise nema smisla.

Ilija je napisao:Mislim da si zaista dobio i preveliku pomoc, pa bih moderatorima predlozio temu za zakljucavanje, jer ovo zaista vise nema smisla.

Slažem se. Temu zaključavam u roku od odmah, a biće otključana ako tako odluči moderatorski tim.

Uz Desiderijev pristanak, daću Unique-u odgovor koji sam mu ostao dužan, nakon čega temu (ponovo) zaključavam, budući da sve ovo, kako prethodnici već rekoše, počinje da gubi smisao.

Unique je napisao:Da se vratim na pocetak gde sam se izgubio kada sam gledao kada je: [inlmath]\sqrt{x^2+x+1}\ge0[/inlmath]

Videvsi da je [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] resenje, pomislio sam da je to onda uvek [inlmath]>0[/inlmath]

Izraz pod korenom, [inlmath]x^2+x+1[/inlmath], uvek je (tj. za svako [inlmath]x[/inlmath]) strogo veći od nule, u šta se možeš uveriti ako izračunaš njegovu diskriminantu (za koju ćeš videti da je negativna). Prema tome, pošto će za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] potkorena veličina biti veća od nule, sledi da će za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] ova funkcija biti definisana – dakle, domen je [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath].

Unique je napisao:Drugi uslov nije sporan, [inlmath]2x+1>0[/inlmath]

Nego, kada treba oba da stavim na onu liniju gde im odredjujem smer strelicom (nakon cega se gleda presek i unija), ja ne znam kako uopste da stavim i prikazem ovo pod korenom? Jer nakon kvadriranja dobijam netacnu konstataciju, tako da posmatram samo Domen (ovo pod korenom) i ovaj uslov koji sam vec spomenuo.

U ovom postu si bio nadomak rešenja. Napisao si da je [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] (uslov definisanosti), zatim da je [inlmath]\displaystyle x>-\frac{1}{2}[/inlmath] (uslov pre kvadriranja), kao i da se nakon kvadriranja dobije [inlmath]4<1[/inlmath], što znači da kao rešenja nakon kvadiranja dobijemo prazan skup (tj. nema rešenja). Dotle je sve u redu. Međutim, nakon toga si napravio grešku jer si tražio uniju ovih skupova rešenja, umesto da tražiš njihov presek (o tome kad se traži unija a kada presek, još jednom, pogledaj ovaj i ovaj post (već sam ti ih bio linkovao, al' evo opet).
Dakle, presek bilo kojih skupova s praznim skupom predstavlja prazan skup.
Dakle, nejednačina koju si u tom postu postavio, [inlmath]2\sqrt{x^2+x+1}-2x-1<0[/inlmath], nema rešenja.
Dakle, prvi izvod ni za jedno [inlmath]x[/inlmath] nije manji od nule.
Dakle, ta funkcija ni na jednom svom intervalu nije opadajuća.
Intuitivno se nameće da je prvi izvod za svako [inlmath]x[/inlmath] iz domena pozitivan, tj. da je funkcija za svako [inlmath]x[/inlmath] iz domena monotono rastuća, ali to možeš utvrditi postavljanjem i rešavanjem nejednačine s obrnutim znakom nejednakosti, tj. [inlmath]2\sqrt{x^2+x+1}-2x-1>0[/inlmath].

Unique je napisao:A dobro, kada bi onda uopsteno neka funkcija bila monotono opadajuca na celom svom domenu?

Ako pitaš za primer monotono opadajuće funkcije – primer monotono opadajuće funkcije dobićeš kada ovu svoju funkciju, koja je monotono rastuća, pomnožiš sa [inlmath]\left(-1\right)[/inlmath].