Prijemni ispit FON – 3. septembar 2009.
19. zadatak
Dakle, posle konsultacije sa ugledim clanom ovoga foruma, Ilijom, odlucio sam da postavim ovde jedan od zanimljivijih zadataka sa prijemnih ispita.
Data je funkcija [inlmath]\displaystyle f(x)=\frac{x}{x-1}[/inlmath]. Ako je [inlmath]f_1(x)=f(x)[/inlmath], [inlmath]f_{n+1}(x)=f\bigl(f_n(x)\bigr)[/inlmath], tada je [inlmath]f_{2009}[/inlmath] jednako?
Znamo [inlmath]f_1(x)=f(x)[/inlmath]
[dispmath]f_2(x)=f\bigl(f_1(x)\bigr)[/dispmath][dispmath]f_2=f\left(\frac{x}{x-1}\right)[/dispmath][dispmath]f_2(x)=\frac{\displaystyle\frac{x}{x-1}}{\displaystyle\frac{x-x+1}{x-1}}=x[/dispmath]
[dispmath]f_3(x)=f\bigl(f_2(x)\bigr)[/dispmath][dispmath]f_3(x)=f_1(x)[/dispmath]
[dispmath]f_{2009}(x)=f_{2\cdot1004+1}(x)=f_1(x)[/dispmath][dispmath]f_1(x)=f(x)=\frac{x}{x-1}[/dispmath]