MATEMANIJA

ETF prijemni 2014
Zadatak 9:

Data je kvadratna funkcija [inlmath]f(x)=x^2+bx+c[/inlmath] [inlmath](b,c\in\mathbb{R})[/inlmath] takva da je [inlmath]f\bigl(f(1)\bigr)=f\bigl(f(2)\bigr)=0[/inlmath], pri čemu je [inlmath]f(1)\ne f(2)[/inlmath]. Kolika je vrednost [inlmath]f(0)[/inlmath]?

Rešenje: [inlmath]-\frac{3}{2}[/inlmath]

Komentar: [inlmath]f(0)=c[/inlmath] i pokušao sam da određivanjem [inlmath]f\bigl(f(1)\bigr)[/inlmath] i [inlmath]f\bigl(f(2)\bigr)[/inlmath] dobijem sistem dve jednačine sa dve nepoznate, ali nisam uspeo da odredim ni jednu.

Hvala unapred

[inlmath]f(1)[/inlmath] i [inlmath]f(2)[/inlmath] bice koreni jednacine [inlmath]f(x)=0[/inlmath], tj. [inlmath]x^2+bx+c=0[/inlmath]. Pa mozes preko Vijetovih formula:
[dispmath]f(1)+f(2)=-b\\
f(1)\cdot f(2)=c[/dispmath]

[inlmath]f(1)[/inlmath] je [inlmath]b+c[/inlmath], a [inlmath]f(2)[/inlmath] [inlmath]4+2b+c[/inlmath]?


EDIT: Nema veze, vidi se u tekstu da moraju biti resenja. Izvini

EDIT 2: U tom slucaju je?
[dispmath]c=-2-2b\\
4b+3c+2b^2+3bc+c^2=0[/dispmath]

Pa ako je kvadratna jednacina za neko [inlmath]x[/inlmath], jednaka nuli, onda je to koren jednacine. Dakle ovde je [inlmath]f(x)[/inlmath] jednako nuli za [inlmath]f(1)[/inlmath] i [inlmath]f(2)[/inlmath].

Znaci:
[dispmath]f(x)=0\iff x^2+ax+b=0[/dispmath]
A vidimo da ce ovo biti jednako nuli upravo za te dve vrednosti (sto je dato u postavci).

EDIT: Na prijemnom citaj pazljivo.

Ako imamo da je:
[dispmath]f(1)=1+b+c\\
f(2)=4+2b+c[/dispmath]
onda zamenimo:
[dispmath]f(1)+f(2)=-b\quad\Rightarrow\quad(1+b+c)+(4+2b+c)=-b\\
f(1)\cdot f(2)=c\quad\Rightarrow\quad(1+b+c)\cdot(4+2b+c)=c[/dispmath]
Iz prve mozemo izraziti da je [inlmath]\displaystyle b=-\frac{5+2c}{4}[/inlmath], zameniti u drugoj (nema potrebe za mnozenjem zagrada), i resiti po [inlmath]c[/inlmath]. I dobije se resenje koje je i dato, [inlmath]\displaystyle c=-\frac{3}{2}[/inlmath].

Hvala! Napravih jos jednu gresku sto sam izostavio jedinicu u [inlmath]f(1)[/inlmath]. Gospode Boze, veoma lak zadatak, ali me nikako nece