MATEMANIJA

[dispmath]f(x)=?[/dispmath][dispmath]f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=x[/dispmath]

[dispmath]f(x)=ax-\frac{b}{x}[/dispmath][dispmath]f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{a}{x}-bx[/dispmath][dispmath]ax-\frac{b}{x}+\frac{2a}{x}-2bx=x[/dispmath][dispmath]x(a-2b)+\frac{1}{x}(2a-b)=x[/dispmath][dispmath]a-2b=1[/dispmath][dispmath]2a-b=0[/dispmath][dispmath]a=-\frac{1}{3},\;b=-\frac{2}{3},\;f(x)=\frac{2-x^2}{3x}[/dispmath]

Naravno, u tekstu zadatka bi trebalo da stoji uslov [inlmath]x\neq0[/inlmath].

Ako je [inlmath]f(x)+2f\bigl(\frac{1}{x}\bigr)=x[/inlmath], onda je i [inlmath]f\bigl(\frac{1}{x}\bigr)+2f(x)=\frac{1}{x}[/inlmath] (zamenom [inlmath]x[/inlmath] sa [inlmath]\frac{1}{x}[/inlmath] u prvom izrazu). Time dobijamo sistem, iz koga dobijamo samu funkciju. [fora s mora, sto bi se reklo]

Inace, tom tvojom metodom si samo nasao jedno resenje, ali bi trebalo pokazati i da drugih resenja nema.

A šta se dešava u kompleksnom domenu?
Naime, u zadatku nije navedena oblast definisanosti funkcije.

Onomatopeja je napisao:Inace, tom tvojom metodom si samo nasao jedno resenje, ali bi trebalo pokazati i da drugih resenja nema.

Pretpostavljam da misliš na ovaj korak?

pentagram142857 je napisao:[dispmath]f(x)=ax-\frac{b}{x}[/dispmath]

Ni meni, Pentagrame, nije baš jasno na osnovu čega si pretpostavio da tražena funkcija mora biti baš tog oblika. Kako si odmah znao da to neće biti npr. neka funkcija s kosinusima, logaritmima ili slično?

desideri je napisao:A šta se dešava u kompleksnom domenu?

U postupku koji je Onomatopeja predložio nisam uočio nijedan korak koji ne bi bio tačan i u kompleksnom domenu.

Daniel je napisao:Kako si odmah znao da to neće biti npr. neka funkcija s kosinusima, logaritmima ili slično?

Probao sam i sa drugacijim smenama (sinusi, logaritmi, kvadratna...) da bi video da li postoji jos neko resenje, ali se ne sredi sve lepo do kraja, pa sam pretpostavio da postoji samo jedno resenje.

Onomatopeja je napisao:Ako je [inlmath]f(x)+2f\bigl(\frac{1}{x}\bigr)=x[/inlmath] onda je i [inlmath]f\bigl(\frac{1}{x}\bigr)+2f(x)=\frac{1}{x}[/inlmath]

Uradio sam i na taj nacin. Naravno, dobio sam isto resenje. Znao sam da moze da se zakljuci da je [inlmath]\displaystyle\frac{1}{x}=\frac{1}{f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)}[/inlmath], ali za ovo iznad se nisam setio.

Ako ti se ovaj zadatak svideo, preporučujem ti da pogledaš i ovaj (prvi zadatak u temi) i ovaj (drugi zadatak u temi) i ovaj, dosta su slični.