Daniel je napisao:Dakle, [inlmath]1[/inlmath] ostaje tačka kodomena u koju se ova funkcija ne preslikava, te zbog toga ta funkcija nije „na“, a samim tim ni bijekcija.
Ja se izvinjavam, ali na osnovu cega smo zakljucili da [inlmath]1[/inlmath] pripada kodomenu funkcije [inlmath]f(x)=\frac{x-4}{x+7}[/inlmath] (zasto mislim drugacije - pogledati poslednji pasus ovog posta). I pored toga sto sam mnogo puta presao teme (poput
ove i
ove) u kojima je bilo dosta reci o bijekciji (surjekciji i injekciji) nisam uspeo da u potpunosti razumem iste. Napisao bih rezon po kojem idem kada su u pitanju ovi matematicki pojmovi, pa ako bi neko mogao da vidi sta je tacno, a sta ne, bio bih mu veoma zahvalan.
Funkcija je bijekcija (tj. ima sebi inverznu funkciju) kada je istovremeno i injekcija i surjekcija.
Za funkciju kazemo da je injekcija ako
ne postoji prava [inlmath]y=a[/inlmath], ([inlmath]a[/inlmath] pripada kodomenu funkcije) koja
sece njen grafik
u dve (ili vise) tacke. (Postoji i "preciznija" definicija, no meni je ova
Danielova laksa za pamcenje).
Za funkciju kazemo da je surjekcija ako
ne postoji prava [inlmath]y=b[/inlmath], ([inlmath]b[/inlmath] pripada kodomenu funkcije) koja
ne sece njen grafik (tj.
sve prave oblika [inlmath]y=b[/inlmath] seku grafik u bar jednoj tacki)
u bar jednoj tacki. (isti slucaj kao i za injekciju - postoji "preciznija" definicija, no ova je laksa za pamcenje)
Ove definicje su mi sasvim jasne. Sad dolazi onaj deo koji nisam razumeo kako treba - kodomen funkcije.
Doskora sam mislio da je kodomen funkcije i skup vrednosti funkcije (iliti slika funkcije) jedno te isto, no sad vidim da to nije tako (da je tako sve funkcije bi bile surjekcije, tj. bijekcija [inlmath]=[/inlmath] injekcija). Po pravilu (ako se ne varam), uz analiticku formulu funkcije mora biti definisan domen i kodomen iste (tj. sta se u sta preslikava). Uzmimo, primera radi, funkciju [inlmath]f\colon\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}\quad f(x)=2^x[/inlmath]. Ova funkcija je matematicki korektno zapisana (nepravilno bi bilo napisati [inlmath]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+\quad f(x)=2^x[/inlmath] jer je domen "veci" od kodomena, a po definiciji svaki element domena mora imati
tacno jednu sliku u kodomenu). Ne razumem zasto smo stavili da kodomenu pripadaju svi realni brojevi kad ni za jedno (a kamoli pozitivno, kao sto je definisano u domenu) [inlmath]x[/inlmath] vrednost [inlmath]2^x[/inlmath] nece biti [inlmath]\le0[/inlmath] (tj. grafik eksponencijalne nikada nece biti ispod apscisne linije, niti ce je dodirivati)?
U nekim zadacima domen i kodomen nam govore koji deo grafika funkcije posmatramo. Jedan takav zadatak bi bio
[dispmath]f\colon(-\infty,0]\to(-\infty,13]\hspace{5mm}f(x)=-x^2+2x+13[/dispmath] Dakle, u pitanju je parabola, tj. grafik kvadratne funkcije. Analizirajuci domen i kodomen iz postavke zadatka zakljucujemo da posmatramo "samo" levu granu parabole. Kodomen "leve grane" se poklapa sa skupom vrednosti iste (funkcija je surjekcija). Sta ako produzimo kodomen, tj. stavimo da pripada intervalu [inlmath](-\infty,100][/inlmath] (domen ostaje isti). Sta dobijamo ako u kodomen uvrstimo i one vrednosti koje data funkcija nece imati ni za jedno [inlmath]x[/inlmath] (isti slucaj kao i za gore navedenu eksponencijalnu funkciju - kodomen [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], a funkcija ima samo pozitivne vrednosti). "Manjak" vrednosti nam govori da posmatramo samo odredjeni deo grafika dok mi "visak" vrednosti u kodomenu uopste nije logican. Ocigledno ovo nisam dobro razumeo jer da nema "viska" vrednosti u kodomenu sve funkcije (kao sto vec rekoh) bi bile surjekcije.
U nekim zadacima domen i kodomen funkcije uopste nisu naglaseni. Da li se u takvim zadacima pod domenom podrazumevamo one vrednosti [inlmath]x[/inlmath]-a za koje je funkcija definisana, a za kodomen uzimamo skup vrednosti funkcije. Uzmimo funkciju [inlmath]y=x^2[/inlmath]. Ova funkcija je definisana za svako [inlmath]x[/inlmath], a vrednost iste se krece u intervalu [inlmath][0,+\infty)[/inlmath]. Prema tome mozemo reci da je domen date funkcije [inlmath](-\infty,+\infty)[/inlmath], a kodomen [inlmath][0,+\infty)[/inlmath]. Ako je tako, zasto kodomen funkcije [inlmath]f(x)=\frac{x-4}{x+7}[/inlmath] ukljucuje i [inlmath]1[/inlmath]? (na ovo se odnosilo moje pitanje sa pocetka posta)
Trudio sam se da sto jasnije predstavim ono sto me buni, nadam se da sam u tome barem donekle uspeo.