Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Bijekcija

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Bijekcija

Postod brdosvetlosti » Subota, 05. Novembar 2016, 18:18

Zdravo svima. Izvinjavam se pre svega što otvaram ovu temu iako ih ima brdo sličnih. Problem je u sledećem - tražio sam svuda po forumu, po random sajtovima definiciju bijekcije, ali nigde nisam našao odgovarajuće primere na osnovu kojih bih zaista razumeo pomenuto. Da li bi neko bio ljubazan da mi u kratkim crtama pojasni ovaj pojam kroz primere? Hvala unapred.
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Bijekcija

Postod Herien Wolf » Subota, 05. Novembar 2016, 19:40

Pozdrav, funkcija je bijekcija akko je istovremeno surjekcija i injekcija, odnosno akko je istovremeno "1-1" i "na".
"1-1" funkcija: [inlmath]f\colon X\to Y[/inlmath]
[dispmath]\left(\forall x_1,x_2\in X\right)\bigl(x_1\ne x_2\;\Longrightarrow\;f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)\bigr)[/dispmath]
injekcija wiki.png
injekcija.wiki
injekcija wiki.png (5.46 KiB) Pogledano 10271 puta

Svaki element iz skupa [inlmath]X[/inlmath] mora imati tačno jednu sliku u skupu [inlmath]Y[/inlmath], pri tome ako su članovi skupa [inlmath]X[/inlmath] međusobno različiti onda se preslikavaju u različite elemente skupa [inlmath]Y[/inlmath]
"na" funkcija: [inlmath]f\colon X\to Y[/inlmath]
[dispmath]\left(\forall y\in Y\right)\left(\exists x\in X\right)\bigl(y=f\left(x\right)\bigr)[/dispmath]
surjekcija wiki.png
surjekcija.wiki
surjekcija wiki.png (5.48 KiB) Pogledano 10271 puta

Za svako [inlmath]y[/inlmath] iz skupa [inlmath]Y[/inlmath] mora postojati neko [inlmath]x[/inlmath] iz skupa [inlmath]X[/inlmath], takvo da je [inlmath]f\left(x\right)=y[/inlmath].
[inlmath]\Longrightarrow\;[/inlmath] Bijekcija: [inlmath]f\colon X\to Y[/inlmath]

Bijection.svg.png
bijekcija.wiki
Bijection.svg.png (5.54 KiB) Pogledano 10271 puta
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 213 puta

Re: Bijekcija

Postod ffilipovicc98 » Subota, 05. Novembar 2016, 20:01

Bijekcija je funkcija koja je istovremeno i "1-1" i "na". Najbitnija posledica toga da je neka funkcija bijekcija je da postoji njena inverzna funkcija.
Funkcija [inlmath]f\colon A\longrightarrow B[/inlmath] je "1-1" ako za svako [inlmath]x_1,x_2\in\mathbb{R}[/inlmath] važi [inlmath]f(x_1)=f(x_2)\;\Longrightarrow\;x_1=x_2[/inlmath]
Znači ako imamo funkciju [inlmath]f_1(x)=\frac{3x+5}{4}[/inlmath] da li je "1-1" proveravamo na sledeći način:
[dispmath]f_1(x_1)=f_1(x_2)\\
\frac{3x_1+5}{4}=\frac{3x_2+5}{4}\\
3x_1+5=3x_2+5\\
3x_1=3x_2\\
x_1=x_2[/dispmath] Znači ova funcija je "1-1".

Dalje, funkcija [inlmath]f\colon A\longrightarrow B[/inlmath] je "na" ako i samo ako za svako [inlmath]y\in B[/inlmath] postoji bar jedno [inlmath]x\in A[/inlmath] takvo da je [inlmath]y=f(x)[/inlmath]
Ako ovo primenimo na funkciju [inlmath]f_1(x)[/inlmath] iz prethodnog primera, treba samo da vidimo gde ova funkcija nije definisana, tj za koju vrednost iz skupa [inlmath]B[/inlmath] ne postoji vrednost u skupu [inlmath]A[/inlmath] i ako dobijemo neku vrednost, zaključujemo da funkcija nije "na", a ako dobijemo da je svuda definisana (ili bar svuda u preseku sa skupom [inlmath]A[/inlmath]), onda jeste "na".
Ova funkcija je očigledno definisana za svaku vrednost [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath] pa zaključujemo da je funkcija bijekcija.

Evo još jednog primera:
[dispmath]f_2(x)=\frac{x-4}{x+7}\\
f_2(x_1)=f_2(x_2)\\
\frac{x_1-4}{x_1+7}=\frac{x_2-4}{x_2+7}\\
(x_1-4)(x_2+7)=(x_1+7)(x_2-4)\\
x_1x_2+7x_1-4x_2-28=x_1x_2-4x_1+7x_2-28\\
7x_1-4x_2=-4x_1+7x_2\\
11x_1=11x_2\\
x_1=x_2[/dispmath] Funkcija je "1-1"
E sad, ova funkcija je definisana za sve vrednosti [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath], osim za [inlmath]x=-7[/inlmath], pa ova funkcija nije "na", što znači da nije ni bijekcija.

Bitno je samo da znamo šta je domen (skup [inlmath]A[/inlmath]), a šta kodomen (skup [inlmath]B[/inlmath]) funkcije koju ispitujemo, jer se restrikcijom domena neke funkcije koje nisu bijekcije mogu napraviti da budu (na primer trigonometrijske, pa imamo inverzne trigonometrijske funkcije, ili kvadratnu funkciju, koja ima koren kao inverznu ali samo ako se domen kvadratne funkcije skrati samo na nenegativne brojeve i zato je [inlmath]\sqrt4=2[/inlmath], a [inlmath]\sqrt4\ne-2[/inlmath])
Ako imaš neki konkretan primer funkcije koju treba ispitati a ovo ti ne pomogne, objavi i to pa će ti pomoći neko, poz :D
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 41 puta
Pohvaljen: 12 puta

Re: Bijekcija

Postod Daniel » Nedelja, 06. Novembar 2016, 01:21

Pored sjajnih odgovora koje su dali Herien Wolf i ffilipovicc98, preporučujem i ovu temu, u kojoj je već dosta toga rečeno i objašnjeno o pojmu bijekcije.

Moram samo ovaj deo malo da prokomentarišem:
ffilipovicc98 je napisao:Evo još jednog primera:
[dispmath]f_2(x)=\frac{x-4}{x+7}\\
\vdots[/dispmath] Funkcija je "1-1"
E sad, ova funkcija je definisana za sve vrednosti [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath], osim za [inlmath]x=-7[/inlmath], pa ova funkcija nije "na", što znači da nije ni bijekcija.

Zapravo, nije to razlog zbog kojeg ova funkcija nije „na“. To što nije definisana za [inlmath]x=-7[/inlmath] samo znači da je njen domen [inlmath]\mathbb{R}\setminus\{-7\}[/inlmath], a razlog zbog kojeg nije „na“ je taj što ni za jednu vrednost promenljive [inlmath]x[/inlmath] ova funkcija neće imati vrednost [inlmath]1[/inlmath]. Dakle, [inlmath]1[/inlmath] ostaje tačka kodomena u koju se ova funkcija ne preslikava, te zbog toga ta funkcija nije „na“, a samim tim ni bijekcija.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Bijekcija

Postod Frank » Petak, 02. Oktobar 2020, 23:05

Daniel je napisao:Dakle, [inlmath]1[/inlmath] ostaje tačka kodomena u koju se ova funkcija ne preslikava, te zbog toga ta funkcija nije „na“, a samim tim ni bijekcija.

Ja se izvinjavam, ali na osnovu cega smo zakljucili da [inlmath]1[/inlmath] pripada kodomenu funkcije [inlmath]f(x)=\frac{x-4}{x+7}[/inlmath] (zasto mislim drugacije - pogledati poslednji pasus ovog posta). I pored toga sto sam mnogo puta presao teme (poput ove i ove) u kojima je bilo dosta reci o bijekciji (surjekciji i injekciji) nisam uspeo da u potpunosti razumem iste. Napisao bih rezon po kojem idem kada su u pitanju ovi matematicki pojmovi, pa ako bi neko mogao da vidi sta je tacno, a sta ne, bio bih mu veoma zahvalan.
Funkcija je bijekcija (tj. ima sebi inverznu funkciju) kada je istovremeno i injekcija i surjekcija.
Za funkciju kazemo da je injekcija ako ne postoji prava [inlmath]y=a[/inlmath], ([inlmath]a[/inlmath] pripada kodomenu funkcije) koja sece njen grafik u dve (ili vise) tacke. (Postoji i "preciznija" definicija, no meni je ova Danielova laksa za pamcenje).
Za funkciju kazemo da je surjekcija ako ne postoji prava [inlmath]y=b[/inlmath], ([inlmath]b[/inlmath] pripada kodomenu funkcije) koja ne sece njen grafik (tj. sve prave oblika [inlmath]y=b[/inlmath] seku grafik u bar jednoj tacki) u bar jednoj tacki. (isti slucaj kao i za injekciju - postoji "preciznija" definicija, no ova je laksa za pamcenje)
Ove definicje su mi sasvim jasne. Sad dolazi onaj deo koji nisam razumeo kako treba - kodomen funkcije.
Doskora sam mislio da je kodomen funkcije i skup vrednosti funkcije (iliti slika funkcije) jedno te isto, no sad vidim da to nije tako (da je tako sve funkcije bi bile surjekcije, tj. bijekcija [inlmath]=[/inlmath] injekcija). Po pravilu (ako se ne varam), uz analiticku formulu funkcije mora biti definisan domen i kodomen iste (tj. sta se u sta preslikava). Uzmimo, primera radi, funkciju [inlmath]f\colon\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}\quad f(x)=2^x[/inlmath]. Ova funkcija je matematicki korektno zapisana (nepravilno bi bilo napisati [inlmath]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+\quad f(x)=2^x[/inlmath] jer je domen "veci" od kodomena, a po definiciji svaki element domena mora imati tacno jednu sliku u kodomenu). Ne razumem zasto smo stavili da kodomenu pripadaju svi realni brojevi kad ni za jedno (a kamoli pozitivno, kao sto je definisano u domenu) [inlmath]x[/inlmath] vrednost [inlmath]2^x[/inlmath] nece biti [inlmath]\le0[/inlmath] (tj. grafik eksponencijalne nikada nece biti ispod apscisne linije, niti ce je dodirivati)?
U nekim zadacima domen i kodomen nam govore koji deo grafika funkcije posmatramo. Jedan takav zadatak bi bio
[dispmath]f\colon(-\infty,0]\to(-\infty,13]\hspace{5mm}f(x)=-x^2+2x+13[/dispmath] Dakle, u pitanju je parabola, tj. grafik kvadratne funkcije. Analizirajuci domen i kodomen iz postavke zadatka zakljucujemo da posmatramo "samo" levu granu parabole. Kodomen "leve grane" se poklapa sa skupom vrednosti iste (funkcija je surjekcija). Sta ako produzimo kodomen, tj. stavimo da pripada intervalu [inlmath](-\infty,100][/inlmath] (domen ostaje isti). Sta dobijamo ako u kodomen uvrstimo i one vrednosti koje data funkcija nece imati ni za jedno [inlmath]x[/inlmath] (isti slucaj kao i za gore navedenu eksponencijalnu funkciju - kodomen [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], a funkcija ima samo pozitivne vrednosti). "Manjak" vrednosti nam govori da posmatramo samo odredjeni deo grafika dok mi "visak" vrednosti u kodomenu uopste nije logican. Ocigledno ovo nisam dobro razumeo jer da nema "viska" vrednosti u kodomenu sve funkcije (kao sto vec rekoh) bi bile surjekcije.


U nekim zadacima domen i kodomen funkcije uopste nisu naglaseni. Da li se u takvim zadacima pod domenom podrazumevamo one vrednosti [inlmath]x[/inlmath]-a za koje je funkcija definisana, a za kodomen uzimamo skup vrednosti funkcije. Uzmimo funkciju [inlmath]y=x^2[/inlmath]. Ova funkcija je definisana za svako [inlmath]x[/inlmath], a vrednost iste se krece u intervalu [inlmath][0,+\infty)[/inlmath]. Prema tome mozemo reci da je domen date funkcije [inlmath](-\infty,+\infty)[/inlmath], a kodomen [inlmath][0,+\infty)[/inlmath]. Ako je tako, zasto kodomen funkcije [inlmath]f(x)=\frac{x-4}{x+7}[/inlmath] ukljucuje i [inlmath]1[/inlmath]? (na ovo se odnosilo moje pitanje sa pocetka posta)

Trudio sam se da sto jasnije predstavim ono sto me buni, nadam se da sam u tome barem donekle uspeo.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 34 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 15:33 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs