Stranica 1 od 2

Maksimalna i minimalna vrednost – ETF prijemni, 2010.

PostPoslato: Utorak, 25. Jun 2013, 21:12
od maxaa
Prijemni ispit ETF – 28. jun 2010.
20. zadatak


Gde gresim? I da li se uopste ovako radi?
Probao sam par puta i nista :/

Ako su [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]M[/inlmath] redom najmanja i najveća vrednost funkcije [inlmath]y=x^3-2x|x-2|[/inlmath] na segmentu [inlmath][0,3][/inlmath], tada je zbir [inlmath]m+M[/inlmath] jednak:
[inlmath](A)\;5\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle\enclose{box}{(B)}\;\frac{527}{27}\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle(C)\;\frac{31}{27}\quad[/inlmath] [inlmath](D)\;29\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle(E)\;\frac{607}{27}\quad[/inlmath] [inlmath](N)\;\mbox{Ne znam}[/inlmath]



[dispmath]y=x^3-2x|x-2|\qquad[0,3][/dispmath] [inlmath]|x-2|=\begin{cases}
x-2, & x\ge2\\
-x+2, & x<2
\end{cases}[/inlmath]
[dispmath]\begin{matrix}
y=x^3-2x^2+4x\qquad &\underline{y=x^3+2x^2-4x}\\
y'=3x^2-4x+4\qquad & y'=3x^2+4x-4\\
& \displaystyle\enclose{box}{x=\frac{2}{3}}\quad\enclose{box}{x=-2}\\
\\
& f(0)=\enclose{box}0\\
& f(3)=27+18-12=\enclose{box}{33}\\
& f(-2)=-8+8+8=\enclose{box}8\\
& \displaystyle f\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^3+2\left(\frac{2}{3}\right)^2-4\cdot\frac{2}{3}\\
& \displaystyle=\frac{8}{27}+\frac{8}{9}-\frac{8}{3}\\
& \displaystyle=\frac{32}{27}-\frac{72}{27}\\
& \displaystyle=\enclose{box}{-\frac{40}{27}}\qquad\enclose{box}{\frac{851}{27}}
\end{matrix}[/dispmath]

Re: Maksimalna i minimalna vrednost – ETF prijemni, 2010.

PostPoslato: Utorak, 25. Jun 2013, 23:50
od Daniel
Napravio si grešku kod izračunavanja [inlmath]f(3)[/inlmath]. Vrednost [inlmath]x=3[/inlmath] spada u interval u kome je [inlmath]x-2>0[/inlmath], pa je [inlmath]|x-2|=x-2[/inlmath], a cela funkcija je [inlmath]y=x^3-2x^2+4x[/inlmath], a ne [inlmath]y=x^3+2x^2-4x[/inlmath], tako da [inlmath]f(3)[/inlmath] nije [inlmath]27+18-12[/inlmath], već je [inlmath]27-18+12[/inlmath], tj. [inlmath]f(3)=21[/inlmath].

I nije bilo potrebe da računaš [inlmath]f(-2)[/inlmath], to nam nije od interesa, budući da [inlmath]x=-2[/inlmath] ne spada u interval [inlmath][0,3][/inlmath] na kojem se traže najmanja i najveća vrednost.

Re: Maksimalna i minimalna vrednost – ETF prijemni, 2010.

PostPoslato: Sreda, 26. Jun 2013, 17:28
od maxaa
Aha, razumem, hvala. :)

Re: Maksimalna i minimalna vrednost – ETF prijemni, 2010.

PostPoslato: Četvrtak, 31. Maj 2018, 17:11
od diopo
Da li moze malo objasnjenje vezano za ovaj zadatak? Kako uopste da pristupim zadatku? Kada se oslobodim apsolutne dobijam 2 funkcije, nadjem prvi izvod za obe i vidim da prvi izvod jedne od te dve nema nule, te njega eliminisem i radim ovaj drugi. Dobio sam sve isto i eliminisao [inlmath]x=-2[/inlmath] jer nije u intervalu [inlmath][0,3][/inlmath], a za [inlmath]x=\frac{2}{3}[/inlmath] sam nasao minimum funkcije koji se nalazi u pomenutom intervalu, pa ostaje da nadjem jos maximum. Eh sad, tu je problem... palo mi je na pamet da trazim [inlmath]f(0)[/inlmath] i [inlmath]f(3)[/inlmath], ali kako da znam da ce bas jedno od ta 2 dati najvecu vrednost na tom intervalu? Tj. da li je moguce da funkcija za neko [inlmath]x_k[/inlmath], ([inlmath]0<x_k<3[/inlmath]) postigne vecu vrednost nego u granicama intervala?

Re: Maksimalna i minimalna vrednost – ETF prijemni, 2010.

PostPoslato: Četvrtak, 31. Maj 2018, 17:39
od miletrans
Hajde da ti odgovorim ovako:
Na posmatranom intervalu funkcija ima samo jedan ekstrem (u ovom slučaju minimum). Ako drugog ekstrema nema, da li je moguće da bilo koja tačka osim rubnih tačaka intervala odgovara maksimumu funkcije? Znači, u ovom slučaju je dovoljno da odrediš [inlmath]f(0)[/inlmath] i [inlmath]f(3)[/inlmath] i vidiš koja od njih je veća.

Re: Maksimalna i minimalna vrednost – ETF prijemni, 2010.

PostPoslato: Petak, 01. Jun 2018, 00:07
od Daniel
Davno beše ovaj zadatak, pre cca pet godina, ali sad kad gledam rekao bih da smo napravili propust. Potrebno je ispitati vrednost funkcije i u tački [inlmath]x=2[/inlmath], zato što u izrazu za funkciju figuriše [inlmath]|x-2|[/inlmath]. Zbog toga funkcija u tački [inlmath]x=2[/inlmath] nije diferencijabilna, tj. u toj tački grafik ima „šiljak“, koji je takođe „kandidat“ za lokalni ekstrem. Da li će šiljak zaista biti lokalni ekstrem ili ne, zavisi od monotonosti pre i nakon njega. Ako je funkcija monotono opadajuća pre šiljka a rastuća nakon njega (ili obratno), tada šiljak jeste lokalni ekstrem. U protivnom, ako je funkcija opadajuća i pre i nakon šiljka (ili rastuća i pre i nakon šiljka), tada šiljak nije lokalni ekstrem.

U ovom konkretnom zadatku [inlmath]x=2[/inlmath], iako jeste „šiljak“, nije i lokalni ekstrem (funkcija je monotono rastuća i pre i nakon njega), ali je potrebno to proveriti, jer to neće uvek kod ovakvih zadataka biti slučaj.

Re: Maksimalna i minimalna vrednost – ETF prijemni, 2010.

PostPoslato: Subota, 02. Jun 2018, 20:42
od diopo
Daniel je napisao:Davno beše ovaj zadatak, pre cca pet godina, ali sad kad gledam rekao bih da smo napravili propust. Potrebno je ispitati vrednost funkcije i u tački [inlmath]x=2[/inlmath], zato što u izrazu za funkciju figuriše [inlmath]|x-2|[/inlmath]. Zbog toga funkcija u tački [inlmath]x=2[/inlmath] nije diferencijabilna, tj. u toj tački grafik ima „šiljak“, koji je takođe „kandidat“ za lokalni ekstrem. Da li će šiljak zaista biti lokalni ekstrem ili ne, zavisi od monotonosti pre i nakon njega. Ako je funkcija monotono opadajuća pre šiljka a rastuća nakon njega (ili obratno), tada šiljak jeste lokalni ekstrem. U protivnom, ako je funkcija opadajuća i pre i nakon šiljka (ili rastuća i pre i nakon šiljka), tada šiljak nije lokalni ekstrem.

U ovom konkretnom zadatku [inlmath]x=2[/inlmath], iako jeste „šiljak“, nije i lokalni ekstrem (funkcija je monotono rastuća i pre i nakon njega), ali je potrebno to proveriti, jer to neće uvek kod ovakvih zadataka biti slučaj.


Dakle nisam pogresio sto sam sumnjao, samo sto moja sumnja nije bila izazvana znanjem, vec neznjanjem... :facepalm:

Daniele, taj deo o diferencijaciji i nije bas bio najbolje objasnjen u skoli u mom slucaju. Da li bi mogao da malo sire objasnis zasto tu funkcja nije diferencijabilna, i sta to uopste znaci? Takodje, kako se iz toga zakljucuje da u toj tacki ima "siljak" ?

Re: Maksimalna i minimalna vrednost – ETF prijemni, 2010.

PostPoslato: Subota, 02. Jun 2018, 23:43
od Daniel
Čemu citiranje celog prethodnog posta? Za time nema potrebe, a smanjuje preglednost teme. A to je i rečeno u tački 15. Pravilnika.

Možeš li za početak da odrediš levi i desni izvod ove funkcije u tački [inlmath]x=2[/inlmath] (znači, kad [inlmath]x\to2^-[/inlmath] i kad [inlmath]x\to2^+[/inlmath]), kao i da pogledaš sledeće postove?
Link #1 (samo početak)
Link #2
Link #3 (drugi deo)
Link #4
Link #5

Hajde prvo to, pa nastavljamo...

Re: Maksimalna i minimalna vrednost – ETF prijemni, 2010.

PostPoslato: Nedelja, 03. Jun 2018, 13:09
od diopo
Izvinjavam se za citiranje, smetnuo sam to sa uma ...

Procitao sam ove postove i mislim da bi to moglo ovako:

[inlmath]x^3-2x\vert x-2\vert=\begin{cases}
x^3-2x^2+4x, & x\ge2\\
x^3+2x^2-4x, & x<2
\end{cases}[/inlmath]

[inlmath]\left(x^3-2x\vert x-2\vert\right)'=\begin{cases}
3x^2-4x+4, & x>2\\
3x^2+4x-4, & x<2
\end{cases}[/inlmath]

[inlmath]f'\left(2^+\right)=3\cdot2^2-4\cdot2+4=8[/inlmath]

[inlmath]f'\left(2^-\right)=3\cdot2^2+4\cdot2-4=16[/inlmath]

Ovako?

Re: Maksimalna i minimalna vrednost – ETF prijemni, 2010.

PostPoslato: Sreda, 06. Jun 2018, 19:17
od Daniel
Tako je. Znači, dobio si da se levi i desni izvod u tački [inlmath]x=2[/inlmath] razlikuju. Prema tome, izvod u samoj tački [inlmath]x=2[/inlmath] nije definisan, tj. funkcija u toj tački nije diferencijabilna. Na grafiku bi to izgledalo ovako:

siljak.png
siljak.png (1.41 KiB) Pogledano 887 puta

Primećuješ da u tački [inlmath]x=2[/inlmath] funkcija naglo menja nagib, tj. to je taj „šiljak“.

Ako iz leve i desne okoline te tačke povučemo tangente, one bi izgledale kao na sledećoj slici:

siljak - tangente.png
siljak - tangente.png (2.4 KiB) Pogledano 887 puta

(Namerno ih nisam crtao kao prave, već kao poluprave, da ne bih previše opterećivao sliku.)
Dakle, vidi se i da će tangente biti različite, zavisno od toga da li ih povlačimo u levoj ili u desnoj okolini tačke u kojoj funkcija nije diferencijabilna.
Tangenta u levoj okolini (plava) imaće koeficijent pravca [inlmath]16[/inlmath], a u desnoj okolini (zelena) imaće koeficijent pravca [inlmath]8[/inlmath]. Kao što si i ti dobio.

Uopšteno, kad u izrazu za funkciju figuriše [inlmath]|x-a|[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] neka konstanta, po pravilu se može očekivati „šiljak“ u tački [inlmath]x=a[/inlmath], jer je to tačka u kojoj izraz unutar apsolutne vrednosti prelazi iz negativne u pozitivnu vrednost. Primer ti je sasvim jednostavna funkcija, [inlmath]y=|x|[/inlmath], koja ima „šiljak“ u nuli.