MATEMANIJA

Najmanja vrednost f-je [inlmath]f(x)=4x+\frac{9\pi^2}{x}+\sin x[/inlmath] za [inlmath]x>0[/inlmath]?
Gubim se cim se uvedu trigonometrijski funkcije, naravno odmah sa pokusao izvod, ali nece nesto

Trebalo bi da moze i preko izvoda da se uradi, ali evo kako bih ja to uradio:
[dispmath]f(x)=4x+\frac{9\pi^2}{x}+\sin x[/dispmath]
Nasa funkcija bice minimalna kada [inlmath]\sin x[/inlmath] dostigne svoju minimalnu vrednost, odnosno [inlmath]-1[/inlmath].
Posto znamo da [inlmath]\sin x=-1[/inlmath] za [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath], zamenimo tu vrednost umesto [inlmath]x[/inlmath] i dobijemo:
[dispmath]f(x)=4\cdot\frac{3\pi}{2}+\frac{9\pi^2}{\frac{3\pi}{2}}-1[/dispmath]
Kada ovo sredimo, dobijamo:
[dispmath]\enclose{box}{12\pi-1}[/dispmath]

Da, funkcija dostiže minimum za [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath] i taj minimum iznosi [inlmath]12\pi-1[/inlmath], kao što je maxaa i napisao.

Međutim, moram da iznesem zamerku na postupak. Kod ove funkcije se slučajno tako potrefilo da je funkcija minimalna onda kada [inlmath]\sin x[/inlmath] dostigne svoju minimalnu vrednost, ali to ne mora uvek da bude slučaj, jer je [inlmath]\sin x[/inlmath] samo jedna od komponenata funkcije, a gde će se nalaziti minimum zavisi i od drugih komponenata. Evo i primera – kad bismo se kod funkcije [inlmath]\left(x-10\right)^2+1+\sin x[/inlmath] poslužili istom metodom i našli minimum za [inlmath]\sin x[/inlmath], tj. [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath], zeznuli bismo se, jer to ne bi bio i minimum cele funkcije. Na grafiku koji Wolframalpha crta za tu funkciju vidi se da joj je minimum negde za [inlmath]x\approx10[/inlmath].

Druga stvar, funkcija [inlmath]\sin x[/inlmath] nema samo jedan minimum, ima ih beskonačno mnogo i periodično se ponavljaju, pa kako onda da znamo koji minimum da odaberemo? Da li je to [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath], ili [inlmath]x=\frac{7\pi}{2}[/inlmath], ili [inlmath]x=\frac{11\pi}{2}[/inlmath], ili...?

Ovde bi, radi određivanja minimuma, funkciju trebalo rastaviti na dve komponente, na [inlmath]4x+\frac{9\pi^2}{x}[/inlmath] i na [inlmath]\sin x[/inlmath]. Ovo radimo zbog toga što je kod prve komponente, kad u njoj ne figurišu zajedno stepen promenljive [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]\sin x[/inlmath], moguće analitičkim putem izračunati za koje [inlmath]x[/inlmath] će prvi izvod biti jednak nuli. Pa kad za tu prvu komponentu odredimo za koje [inlmath]x[/inlmath] ona dostiže minimum, onda ispitujemo vrednost cele funkcije u onim dvema okolnim tačkama u kojima komponenta [inlmath]\sin x[/inlmath] dostiže minimum, pa biramo onu vrednost funkcije koja je najmanja i to je onaj minimum koji tražimo.
Evo kako bi taj postupak i izgledao:
[dispmath]\left(4x+\frac{9\pi^2}{x}\right)'=0[/dispmath][dispmath]4-\frac{9\pi^2}{x^2}=0[/dispmath][dispmath]x=\pm\frac{3\pi}{2}[/dispmath]
Zbog uslova u zadatku [inlmath]x>0[/inlmath], uzimamo pozitivno rešenje, [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath].
Pošto se, srećom, tako potrefilo da u samoj toj tački i komponenta [inlmath]\sin x[/inlmath] ima minimum, time je naš posao završen i u tački [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath] će biti minimum cele funkcije, koji iznosi, kako maxaa napisa, [inlmath]12\pi-1[/inlmath].


@maxaa, u svakom slučaju je veoma dobro što si pokazao ovaj svoj postupak, pa makar i ne najtačniji, kako bismo sve ovo prokomentarisali i prodiskutovali.

Izgleda da je stvarno dobro, jer bi verovatno mislio, da je moj postupak ispravan i tako pogresio u nekom slicnom zadatku, hvala na ispravci

Hvala na resenju
Ja se ne bih usudio da razdvojim ova dva dela funkcije, ja sam odradio izvod citave funkcije i tu sam zakucao

Molim vas da obratite pažnju na ovu korekciju, pošto sam u crveno obeleženom delu teksta napravio propust:

Daniel je napisao:Ovde bi, radi određivanja minimuma, funkciju trebalo rastaviti na dve komponente, na [inlmath]4x+\frac{9\pi^2}{x}[/inlmath] i na [inlmath]\sin x[/inlmath]. Ovo radimo zbog toga što je kod prve komponente, kad u njoj ne figurišu zajedno stepen promenljive [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]\sin x[/inlmath], moguće analitičkim putem izračunati za koje [inlmath]x[/inlmath] će prvi izvod biti jednak nuli. Pa kad za tu prvu komponentu odredimo za koje [inlmath]x[/inlmath] ona dostiže minimum, onda ispitujemo vrednost cele funkcije u onim dvema okolnim tačkama u kojima komponenta [inlmath]\sin x[/inlmath] dostiže minimum, pa biramo onu vrednost funkcije koja je najmanja i to je onaj minimum koji tražimo.

Najmanja vrednost funkcije, zapravo, ne mora biti u jednoj od te dve okolne tačke, već može biti bilo gde unutar intervala ograničenog tim dvema tačkama. To je već posao za numeričku analizu i ne može se rešiti analitički, ali, srećom, na ispitu će vam uvek dati zadatke kod kojih se sve fino poklopi (kao što je i ovde bio slučaj) i u kojima nikakav numerički račun nije potreban.

Evo i ilustracije za celu ovu priču – posmatramo neku funkciju [inlmath]f\left(x\right)=2x+\frac{100}{x}+\sin x[/inlmath]:


Na slici su u različitim bojama predstavljene komponente te funkcije, [inlmath]f_1\left(x\right)=2x+\frac{100}{x}[/inlmath] i [inlmath]f_2\left(x\right)=\sin x[/inlmath], kao i cela funkcija [inlmath]f\left(x\right)=2x+\frac{100}{x}+\sin x[/inlmath].

Tačka [inlmath]1[/inlmath] predstavlja minimum komponente [inlmath]f_1\left(x\right)=2x+\frac{100}{x}[/inlmath], dok tačke [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] predstavljaju prve susedne minimume komponente [inlmath]f_2\left(x\right)=\sin x[/inlmath].
Tačka [inlmath]4[/inlmath] predstavlja minimum cele funkcije [inlmath]f\left(x\right)=2x+\frac{100}{x}+\sin x[/inlmath], koji mora da se nalazi unutar intervala ograničenog tačkama [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath].
Razlog zbog kojeg mora da se nalazi u tom intervalu je taj, što već sledeći minimumi komponente [inlmath]f_2\left(x\right)=\sin x[/inlmath] neće moći da predstavljaju kandidate za minimume cele funkcije, jer će ih komponenta [inlmath]f_1\left(x\right)=2x+\frac{100}{x}[/inlmath] „odvući“ suviše prema gore, u smeru [inlmath]y[/inlmath]-ose.

Mislim da je ovo suvise kompleksno za nas

20. Najmanja vrednost funkcije
[dispmath]f(x)=4x+\frac{9\pi^2}{x}+\sin x[/dispmath]
za [inlmath]0<x<+\infty[/inlmath]

Naišao sam na ovaj zadatak i pošto znam da vrednosti [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] variraju u intervalu od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath], pa samim tim ako se traži minimalna vrednost to bi trebalo automatski da bude [inlmath]-1[/inlmath]....

ja sam ignorisao [inlmath]\sin x[/inlmath] kad sam uradio prvi izvod, dobio sam da je [inlmath]x=\frac{3}{2}\pi[/inlmath], zamenio i dobio rešenje [inlmath]12\pi[/inlmath], a ispostavilo se da je [inlmath]\sin(12\pi)=-1[/inlmath] upravo ono [inlmath]-1[/inlmath] koje sam očekivao, i kad se to sabere dobije se traženi rezultat [inlmath]12\pi-1[/inlmath].

Rešenje je tačno, a za postupak ne znam. Šta da radim sa [inlmath]\cos x[/inlmath] kad odradim izvod, ne znam