MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 8. jul 2014.
1. zadatak

Neka je [inlmath]f(x)=x^2+1[/inlmath] i [inlmath]g(x)=3x-2[/inlmath]. Tada je vrednost [inlmath]f\left(g^{-1}(4)\right)-g^{-1}\bigl(f(3)\bigr)[/inlmath] jednaka:
[inlmath]A)\;3;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{B)}\;1;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;0;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;-3;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;-1.[/inlmath]

Ovako sam ja radio: Prvo nalazim [inlmath]g^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}[/inlmath]. Zatim dobijamo da je konacna vrednost pod [inlmath]B)\;1[/inlmath]
Kako sam nasao [inlmath]g^{-1}(x)[/inlmath]? Zamenio sam mesta [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], pa sam sredio...

Da bismo našli inverznu funkciju [inlmath]g^{-1}[/inlmath] funkciji [inlmath]g[/inlmath], možemo u analitičkom izrazu funkcije:
[dispmath]g(x)=3x−2[/dispmath] zameniti [inlmath]g(x)=y[/inlmath], te imamo:
[dispmath]y=3x-2[/dispmath] i zatim da izraziti [inlmath]x[/inlmath].
[dispmath]y=3x-2\;\Longrightarrow\;x=\frac{y+2}{3}[/dispmath] Ostaje na kraju da izmenimo sve i umesto [inlmath]x[/inlmath] napišemo [inlmath]g^{-1}(x)[/inlmath] i umesto [inlmath]y[/inlmath] napišemo [inlmath]x[/inlmath].
[dispmath]g^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}[/dispmath] Zatim ćemo rutinski rešiti zadatak.
[dispmath]f\left(g^{-1}(4)\right)-g^{-1}\bigl(f(3)\bigr)=f\left(\frac{4+2}{3}\right)-g^{-1}\left(3^2+1\right)=f(2)-g^{-1}(10)=2^2+1-\frac{10+2}{3}=5-4=1[/dispmath]