Grafik je često dobra pomoć, ali ne i u ovom zadatku. Analizirati funkciju
[inlmath]f\left(x\right)=x^3-1-\ln\sqrt{x}=x^3-1-\frac{1}{2}\ln x[/inlmath]
i odrediti broj nula. Funkcija je pozitivna na granicama svog domena, tj:
[inlmath]\lim_{x\to0^+}f\left(x\right)=+\infty;\;\lim_{x\to+\infty}f\left(x\right)=+\infty[/inlmath]
Nadjimo lokalne ekstreme pomoću prvog izvoda:
[inlmath]f'\left(x\right)=3x^2-\frac{1}{2x}=\frac{6x^3-1}{2x}[/inlmath]
[inlmath]f'\left(x\right)<0\;\Longrightarrow\;x\in\left(0,\sqrt[3]{\frac{1}{6}}\right)[/inlmath] - funkcija je opadajuća
[inlmath]f'\left(x\right)=0\;\Longrightarrow\;x=\sqrt[3]{\frac{1}{6}}[/inlmath] - lokalni minimum
[inlmath]f'\left(x\right)>0\;\Longrightarrow\;x\in\left(\sqrt[3]{\frac{1}{6}},+\infty\right)[/inlmath] - funkcija rastuća
Funkcija je neprekidna i kako je
[inlmath]f\left(\sqrt[3]{\frac{1}{6}}\right)=\frac{1}{6}-1-\frac{1}{2}\ln\;6^{-\frac{1}{3}}=-\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\ln\;6=\frac{\ln\;6\;-5}{6}<0[/inlmath]
grafik funkcije preseca [inlmath]x[/inlmath]-osu u dve tačke.