MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF - 16. jun 2018.
8. zadatak

Zadatak ide ovako: Ako je funkcija [inlmath]f[/inlmath] neparna, periodična sa periodom [inlmath]8[/inlmath] i ako je [inlmath]f(x)=x^4-16x^2[/inlmath] za [inlmath]x\in\left[0,4\right][/inlmath], onda je [inlmath]f(198)[/inlmath] jednako:
Rešenje je: [inlmath]48[/inlmath]

Okej pošto je periodična sa periodom [inlmath]8[/inlmath] onda ustvari tražimo [inlmath]f(6)[/inlmath], zar ne?
Uslov da je neka funkcija neparna jeste [inlmath]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/inlmath], ali ne vidim nikako kako je to moguće u ovoj funkciji, jer su [inlmath]x[/inlmath]-ovi na parnim stepenima. Tako da svako [inlmath]-x[/inlmath] završi kao [inlmath]x[/inlmath]

miljan1403 je napisao:Okej pošto je periodična sa periodom [inlmath]8[/inlmath] onda ustvari tražimo [inlmath]f(6)[/inlmath], zar ne?

Tačno je da zbog periodičnosti s periodom [inlmath]8[/inlmath] važi [inlmath]f(198)=f(6)[/inlmath], ali izraz za funkciju [inlmath]f(x)=x^4-16x^2[/inlmath] važi samo na intervalu [inlmath][0,4][/inlmath]. Ni [inlmath]198[/inlmath] ni [inlmath]6[/inlmath] ne pripadaju tom intervalu.

miljan1403 je napisao:Uslov da je neka funkcija neparna jeste [inlmath]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/inlmath], ali ne vidim nikako kako je to moguće u ovoj funkciji, jer su [inlmath]x[/inlmath]-ovi na parnim stepenima. Tako da svako [inlmath]-x[/inlmath] završi kao [inlmath]x[/inlmath]

Ne bi bilo moguće kada bi taj izraz u kojem su [inlmath]x[/inlmath]-evi na parnim stepenima važio za ceo domen funkcije. Međutim, po uslovu zadatka taj izraz važi samo za pomenuti interval [inlmath][0,4][/inlmath]. Upravo iz uslova da je funkcija neparna možeš vrlo lako odrediti kako glasi njen izraz za interval [inlmath][-4,0][/inlmath]. Nakon toga, [inlmath]198[/inlmath]-icu možeš, umesto na šesticu kako si pokušao, svesti na neku vrednosti iz tog intervala [inlmath][-4,0][/inlmath].

Znači ako krenem sa ovom formulom [inlmath]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/inlmath], napišem:
[dispmath]x^4-16x^2=-x^4+16x^2[/dispmath][dispmath]2x^4-32x^2=0[/dispmath][dispmath]2x^2\left(x^2-16\right)=0[/dispmath][dispmath]2x^2=0\;\lor\;x^2-16=0[/dispmath][dispmath]x=0\;\lor\;x=\pm4[/dispmath] Ne vidim šta da uradim dalje

Već u startu ti je greška:

miljan1403 je napisao:Znači ako krenem sa ovom formulom [inlmath]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/inlmath], napišem:
[dispmath]x^4-16x^2=-x^4+16x^2[/dispmath]

Sigurno je da neće i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]-x[/inlmath] istovremeno pripadati intervalu [inlmath][0,4][/inlmath] (izuzev u slučaju [inlmath]x=0[/inlmath]), tako da nećeš u oba slučaja moći da funkciju [inlmath]f[/inlmath] zameniš onim zadatim izrazom koji važi samo za interval [inlmath][0,4][/inlmath].
Potrebno je da za [inlmath]x\in[-4,0][/inlmath] odrediš kako glasi [inlmath]f(x)[/inlmath], a ti si radio kao da i za taj interval važi [inlmath]f(x)=x^4-16x^2[/inlmath], što je pogrešno.

Krenuo si od [inlmath]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/inlmath], i to je u redu. Uzmimo da [inlmath]x\in[0,4][/inlmath], što znači da umesto [inlmath]f(x)[/inlmath] možemo pisati [inlmath]x^4-16x^2[/inlmath]:
[dispmath]f\left(-x\right)=-\left(x^4-16x^2\right)[/dispmath] Sad uvedi smenu [inlmath]-x=t[/inlmath] (pošto [inlmath]x\in[0,4][/inlmath], sledi [inlmath]-x\in[-4,0][/inlmath], tj. [inlmath]t\in[-4,0][/inlmath]). Prema tome, određivanjem [inlmath]f(t)[/inlmath] odredio si izraz za funkciju u intervalu [inlmath][-4,0][/inlmath].

Hvala ti uspeo sam da uradim Msm da svako ko ima problema može da shvati iz objašnjenja tako da neću pisati ništa