MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF – 14. jun 2014.
9. zadatak

Nisam siguran da li je ovo trebalo da se stavi u kategoriju "Izvod funkcije", ukoliko jeste, ja se iskreno izvinjavam.
Zadatak ide ovako: Dat je skup funkcija [inlmath]\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4x^3}{p^2}-3x+p[/inlmath], [inlmath]p\ne0[/inlmath]. Tačke lokalnih maksimuma funkcija leže na pravoj:
Rešenje je: [inlmath]y=-4x[/inlmath]

Moja prva ideja je bila da nađem izvod funkcije, ali nisam siguran da sam ga uradio dobro. Najviše me zbunjuje to kako da gledam [inlmath]p[/inlmath] u izvodu.
Hvala svima na pomoći

Da bi tačka [inlmath]x_0[/inlmath] koja pripada domenu funkcije bila lokalni maksimum te funkcije potrebno je da prvi izvod funkcije u toj tački bude nula, a drugi izvod funkcije u toj tački bude manji od nule. Dakle, imaš dva uslova: [inlmath]f'(x_0)=0[/inlmath] i [inlmath]f''(x_0)<0[/inlmath]. Parametar [inlmath]p[/inlmath] pri određivanju izvoda posmatraj kao konstantu.

Rekao bih da u tekstu zadatka postoji propust. Za [inlmath]p>0[/inlmath] zaista se dobije da tačke lokalnih maksimuma leže na pravoj [inlmath]y=-4x[/inlmath] (ili preciznije, na polupravoj [inlmath]y=-4x[/inlmath], [inlmath]x\in(-\infty,0)[/inlmath]). Međutim, za [inlmath]p<0[/inlmath] dobije se da tačke lokalnih maksimuma leže na pravoj [inlmath]y=0[/inlmath] (ili preciznije, na polupravoj [inlmath]y=0[/inlmath], [inlmath]x\in(-\infty,0)[/inlmath]).

Bilo bi u redu ili kada bi bio dat uslov [inlmath]p>0[/inlmath], ili kada bi funkcija glasila [inlmath]f(x)=\frac{4x^3}{p^2}-3x+|p|[/inlmath], [inlmath]p\ne0[/inlmath].

Ja sam ovaj zadatak (kao i ceo taj prijemni) svojevremeno prepisao s linka na kojem je bio objavljen taj probni prijemni, ali je sadržaj na tom linku u međuvremenu uklonjen. Zamolio bih ako neko ima kod sebe taj probni prijemni, ako može da fotka taj zadatak i da ga pošalje, kako bismo proverili.

Da li je [inlmath]f'(x_0)=\frac{12x^2-3p^2}{p^2}[/inlmath]? Ili ja negde grešim?
Radio sam ovako:
[dispmath]f'(x_0)=\frac{\left(4x^3\right)'\cdot p^2-\left(4x^3\right)\left(p^2\right)'}{p^4}-3[/dispmath] Da li je to u redu?

Nije u redu. Lepo ti je čovek naglasio:

primus je napisao:Parametar [inlmath]p[/inlmath] pri određivanju izvoda posmatraj kao konstantu.

Video sam da mi je to naglasio, ali očigledno nešto ne radim kako treba...
Da li se to radi ovako:
[dispmath]f'(x_0)=\frac{4}{p^2}\cdot\left(x^3\right)'-3[/dispmath] Ali tako dobijam isto rešenje, tako da verovatno ni to nije dobro
Može neko da uradi za mene jer ja stvarno ne razumem šta radim pogrešno?

Pa dobro, ako u formulu za izvod količnika uvrstiš [inlmath]\left(p^2\right)'=0[/inlmath] (što zaista važi ako [inlmath]p[/inlmath] posmatraš kao konstantu), onda se dobija tačan izraz za prvi izvod. Ali, ako već [inlmath]p[/inlmath] posmatraš kao konstantu, onda se postavlja pitanje zašto uopšte raditi preko formule za izvod količnika.
OK, našao si ispravan izraz za prvi izvod (naravno, još malo ga sredi). Zatim nađi njegov prvi izvod, i to će biti drugi izvod. On treba da bude manji od nule kako bismo imali lokalni maksimum, što je uslov zadatka, odakle nađeš kom intervalu mora pripadati [inlmath]x[/inlmath]. Umeš li to da uradiš?
Hajde uradi prvo to, pa idemo dalje.

Daniel je napisao:OK, našao si ispravan izraz za prvi izvod (naravno, još malo ga sredi).

Pretpostavljam da si hteo da odredim: [inlmath]x=\pm\frac{p}{2}[/inlmath]

Daniel je napisao:Zatim nađi njegov prvi izvod, i to će biti drugi izvod.

Sredio sam prvi izvod i dobio:
[dispmath]f''(x)=\left(\frac{12x^2}{p^2}-3\right)'[/dispmath][dispmath]f''(x)=\frac{12}{p^2}\cdot2x[/dispmath]

Daniel je napisao:On treba da bude manji od nule kako bismo imali lokalni maksimum

On će imati lokalni maksimum za [inlmath]x<0[/inlmath]? Zar ne?

Dovde je sve OK. Pošto si našao [inlmath]x[/inlmath]-koordinate lokalnih maksimuma, sad odrediš i njihove [inlmath]y[/inlmath]-koordinate (uvrštavajući [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu koju si odredio, u početni izraz za funkciju), i na kraju je preostalo da nađeš još vezu između [inlmath]y[/inlmath]-koordinate i [inlmath]x[/inlmath]-koordinate.

Dobio sam da su:
[dispmath]f\left(\frac{p}{2}\right)=0\;\land\;f\left(-\frac{p}{2}\right)=\frac{4p}{2}[/dispmath] I onda sam primetio da se [inlmath]x[/inlmath] nalazi u drugoj jednačini:
[dispmath]f\left(-\frac{p}{2}\right)=\frac{4p}{2}\;\Longrightarrow\;y=\frac{4p}{2}\;\Longrightarrow\;y=\frac{p}{2}\cdot4\;\Longrightarrow\;y=4x[/dispmath]
Ali treba da bude [inlmath]y=-4x[/inlmath]. Gde grešim?
Izvinjavam se što ovako kasno odgovaram, nisam mogao zbog maturskih ispita.