Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Najmanja vrednost funkcije – prijemni MATF 2011.

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Najmanja vrednost funkcije – prijemni MATF 2011.

Postod miljan1403 » Četvrtak, 11. Jun 2020, 11:11

Prijemni ispit MATF – 29. jun 2011.
14. zadatak


Zdravo, zadatak ide ovako: Najmanja vrednost funkcije [inlmath]f\left(x\right)=\sin x+\cos x[/inlmath] za [inlmath]x\in\left[0,\pi\right][/inlmath] je:
Rešenje je: [inlmath]-1[/inlmath]
Prvo sam odredio prvi izvod i izjednačio sa nulom:
[dispmath]f'(x)=\cos x-\sin x[/dispmath][dispmath]\cos x-\sin x=0[/dispmath][dispmath]\tan x=1[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath] Ali onda kada izračunam [inlmath]f\left(\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath] dobijam [inlmath]f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt2[/inlmath]. Što jelte nije rešenje zadatka? Pretpostavljam da je to maksimalna vrednost funkcije, ali kako da dobijem minimalnu? Iz rešenje vidimo da ćemo dobiti rešenje [inlmath]-1[/inlmath] kada imamo [inlmath]f(\pi)[/inlmath], ali odakle da dobijem taj podatak? :D
Hvala svima unapred.
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Najmanja vrednost funkcije – prijemni MATF 2011.

Postod primus » Četvrtak, 11. Jun 2020, 13:08

Imam dva pitanja za tebe. Kad je [inlmath]f''(x)>0[/inlmath] i koliko je [inlmath]f\left(\frac{5\pi}{4}\right)[/inlmath]?
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Najmanja vrednost funkcije – prijemni MATF 2011.

Postod Srdjan01 » Četvrtak, 11. Jun 2020, 14:21

Pozdrav, ovdje imaš sličan zadatak, možda ti pomogne
Korisnikov avatar
 
Postovi: 92
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 61 puta

  • +1

Re: Najmanja vrednost funkcije – prijemni MATF 2011.

Postod Daniel » Četvrtak, 11. Jun 2020, 16:37

Što se tiče načina na koji si krenuo, imaš dva previda.
Jedan je, da nisi proverio da li je [inlmath]x=\frac{\pi}{4}[/inlmath] tačka lokalnog maksimuma ili lokalnog minimuma (mislim da ti je na to primus i sugerisao). Ako je to lokalni maksimum (a pokazaće se da jeste), onda ta tačka automatski otpada kao mogućnost da bude tačka minimalne vrednosti.
A čak i da je bio u pitanju lokalni minimum, to još uvek ne mora ništa da znači. Kada posmatraš neprekidnu funkciju na zadatom intervalu, tada su „kandidati“ za minimalnu vrednost – lokalni minimumi (ukoliko postoje) i vrednosti na granicama intervala. Znači, odrediš sve ove vrednosti, a zatim uzmeš onu koja je najmanja.

Svakako preporučujem temu na koju je Srdjan01 linkovao, a razlika je u tome što je u ovom zadatku zadat interval.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Najmanja vrednost funkcije – prijemni MATF 2011.

Postod miljan1403 » Petak, 12. Jun 2020, 11:06

primus je napisao:Imam dva pitanja za tebe. Kad je [inlmath]f''(x)>0[/inlmath] i koliko je [inlmath]f\left(\frac{5\pi}{4}\right)[/inlmath]?

[dispmath]f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\sin\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{4}[/dispmath][dispmath]f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\sqrt2[/dispmath][dispmath]f''(x)=-\sin x-\cos x[/dispmath][dispmath]\tan x<-1[/dispmath][dispmath]\frac{3\pi}{2}+2k\pi<x<\frac{7\pi}{4}+2k\pi[/dispmath] Da li je ovo u redu?

Daniel je napisao:Znači, odrediš sve ove vrednosti, a zatim uzmeš onu koja je najmanja.

Da li misliš na vrednosti: [inlmath]f\left(\frac{\pi}{4}\right),f\left(\frac{5\pi}{4}\right),f(0),f(\pi)[/inlmath]

Daniel je napisao:A čak i da je bio u pitanju lokalni minimum, to još uvek ne mora ništa da znači.

Nisam siguran da uopšte razumem celu ovu priču oko funkcija, da li neko ima neki source ili neki link koji bi mi to lepo objasnio? :D
Hvala vam :D
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta

Re: Najmanja vrednost funkcije – prijemni MATF 2011.

Postod miljan1403 » Petak, 12. Jun 2020, 13:38

Okej pokušao sam nešto. Tražio sam od druga da mi slika teoriju u vezi sa funkcijama u FON zbirci, jer je ja ne posedujem. Pa sam uradio ovako:
[dispmath]f''\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\sin x-\cos x[/dispmath][dispmath]f''\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\sin\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{4}[/dispmath][dispmath]f''\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt2<0[/dispmath][dispmath]f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2[/dispmath] Zbirka kaže da ukoliko ubacimo stacionarne tačke u drugi izvod (to su tačke koje dobijamo kada prvi izvod izjednačimo sa nulom) i ukoliko je [inlmath]f''(x_0)<0[/inlmath] onda nam je tačka lokalnog maksimuma u [inlmath]f(x_0)[/inlmath]. A ukoliko je [inlmath]f''(x_0)>0[/inlmath] onda nam je tačka lokalnog maksimuma u [inlmath]f(x_0)[/inlmath]. Da li je to tačno?
[dispmath]f''\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}[/dispmath][dispmath]f''\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\sqrt2>0[/dispmath][dispmath]f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\sqrt2[/dispmath] I onda dobijemo da je tačka minimuma [inlmath]-\sqrt2[/inlmath] u [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath]. Pošto je to van opsega koji nam je dat u zadatku onda nam se najmanja vrednost nalazi u [inlmath]f\left(\pi\right)[/inlmath]. Da li je ovo tačno? :D
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta

  • +1

Re: Najmanja vrednost funkcije – prijemni MATF 2011.

Postod Daniel » Petak, 12. Jun 2020, 23:29

miljan1403 je napisao:[dispmath]f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\sqrt2[/dispmath]

Jeste u redu, ali nam se [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath] nalazi izvan zadatog intervala [inlmath][0,\pi][/inlmath] tako da nas ta tačka ne interesuje. Pretpostavljam da je primus, kad te je pitao za vrednost funkcije u toj tački, mislio na sličnu verziju ovog zadatka u kojoj nije zadat interval [inlmath][0,\pi][/inlmath].

miljan1403 je napisao:[dispmath]f''(x)=-\sin x-\cos x[/dispmath][dispmath]\tan x<-1[/dispmath]

Ne znam kako si iz [inlmath]f''(x)=-\sin x-\cos x[/inlmath] došao do [inlmath]\text{tg }x<-1[/inlmath].
Pretpostavljam da si postavio uslov [inlmath]f''(x)>0[/inlmath], ali iz [inlmath]-\sin x-\cos x>0[/inlmath] ne sledi [inlmath]\text{tg }x<-1[/inlmath].

miljan1403 je napisao:
Daniel je napisao:Znači, odrediš sve ove vrednosti, a zatim uzmeš onu koja je najmanja.

Da li misliš na vrednosti: [inlmath]f\left(\frac{\pi}{4}\right),f\left(\frac{5\pi}{4}\right),f(0),f(\pi)[/inlmath]

Mislim na sve koje si nabrojao izuzev [inlmath]f\left(\frac{5\pi}{4}\right)[/inlmath], budući da je, kao što rekoh, [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath] van granica intervala od interesa.
Naravno, nakon što uočavanjem da je drugi izvod u [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] negativan, tj. da u toj tački nemamo lokalni minimum već lokalni maksimum, ta tačka automatski otpada kao mogući kandidat, i za ispitivanje ostaju samo vrednosti u granicama intervala – [inlmath]f(0)[/inlmath] i [inlmath]f(\pi)[/inlmath].

miljan1403 je napisao:
Daniel je napisao:A čak i da je bio u pitanju lokalni minimum, to još uvek ne mora ništa da znači.

Nisam siguran da uopšte razumem celu ovu priču oko funkcija, da li neko ima neki source ili neki link koji bi mi to lepo objasnio? :D

Ilustrovaću to na šta sam mislio jednim primerom. Neka se traži najmanja vrednost neprekidne funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] (ovo neprekidne je bitan uslov) na intervalu [inlmath][a,b][/inlmath]:

najmanja vrednost.png
najmanja vrednost.png (1.68 KiB) Pogledano 1225 puta

Kao što je prikazano na grafiku, funkcija iz tog primera ima jedan lokalni minimum na posmatranom intervalu [inlmath][a,b][/inlmath]. Međutim, vrednost u tački lokalnog minimuma neće biti i najmanja vrednost funkcije na tom intervalu. Vrednost u tački [inlmath]a[/inlmath] biće manja. Pošto je vrednost u tački [inlmath]b[/inlmath] veća od prethodne dve vrednosti, tj. [inlmath]f(a)<f(x_m)[/inlmath] i [inlmath]f(a)<f(b)[/inlmath], sledi da je [inlmath]f(a)[/inlmath] minimalna vrednost ove funkcije.
E, na to sam mislio kad sam rekao da su „kandidati“ za minimalnu vrednost funkcije na nekom intervalu – lokalni minimumi na tom intervalu (ako postoje) i vrednosti funkcije na granicama intervala.
Mada, cela ova priča je za neki opšti slučaj. Kod ove funkcije, ako bi za nju pokazao da je po svom obliku to zapravo sinusna funkcija (do čega bi došao primenjujući postupak iz linkovanog zadatka), bilo bi jasno da je vrednost lokalnih minimuma te funkcije ujedno i minimalna vrednost te funkcije.

miljan1403 je napisao:[dispmath]f''\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt2<0[/dispmath][dispmath]f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2[/dispmath] Zbirka kaže da ukoliko ubacimo stacionarne tačke u drugi izvod (to su tačke koje dobijamo kada prvi izvod izjednačimo sa nulom) i ukoliko je [inlmath]f''(x_0)<0[/inlmath] onda nam je tačka lokalnog maksimuma u [inlmath]f(x_0)[/inlmath]. A ukoliko je [inlmath]f''(x_0)>0[/inlmath] onda nam je tačka lokalnog maksimuma u [inlmath]f(x_0)[/inlmath]. Da li je to tačno?

Umesto ovog crvenog treba da stoji minimuma. S tom ispravkom, tačno je, i upravo na to je primus hteo da te navede kad te pitao kada je [inlmath]f''(x)>0[/inlmath].
S obzirom na dobijenu negativnu vrednost za [inlmath]f''\left(\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath], zaključuješ da u toj tački imaš lokalni maksimum, prema tome, ta tačka samim tim ispada iz daljnjeg razmatranja.

miljan1403 je napisao:I onda dobijemo da je tačka minimuma [inlmath]-\sqrt2[/inlmath] u [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath]. Pošto je to van opsega koji nam je dat u zadatku onda nam se najmanja vrednost nalazi u [inlmath]f\left(\pi\right)[/inlmath]. Da li je ovo tačno? :D

Tačka lokalnog minimuma jeste u [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath], ali to nisi mogao zaključiti samo na osnovu [inlmath]f''\left(\frac{5\pi}{4}\right)>0[/inlmath], već se do toga dolazi i pokazavši da je [inlmath]f'\left(\frac{5\pi}{4}\right)=0[/inlmath]. Ali zbog čega uopšte i razgovaramo o toj tački, kad je ona izvan intervala koji posmatramo?
Mislim, isto tako smo mogli govoriti i o tačkama [inlmath]\frac{5\pi}{4}+2k\pi[/inlmath] (tj. tačke [inlmath]-\frac{\pi}{4}[/inlmath], [inlmath]\frac{13\pi}{4}[/inlmath]..., može se pokazati da su sve to lokalni minimumi ove funkcije, ali ovde je bitno da se nijedan od lokalnih minimuma ne nalazi unutar zadatog intervala.
Da, najmanja vrednost ove funkcije na zadatom intervalu jeste [inlmath]f(\pi)[/inlmath], tj. [inlmath]-1[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Najmanja vrednost funkcije – prijemni MATF 2011.

Postod miljan1403 » Subota, 13. Jun 2020, 12:19

Okej, mislim da sam shvatio :D Hvala ti puno. Išao sam malo u širinu kako bih shvatio neke koncepte kada je u pitanju funkcija, iako je to bilo nepotrebno za sam zadatak. :D
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 7 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 45 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 23:45 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs