miljan1403 je napisao:[dispmath]f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\sqrt2[/dispmath]
Jeste u redu, ali nam se [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath] nalazi izvan zadatog intervala [inlmath][0,\pi][/inlmath] tako da nas ta tačka ne interesuje. Pretpostavljam da je primus, kad te je pitao za vrednost funkcije u toj tački, mislio na sličnu verziju ovog zadatka u kojoj nije zadat interval [inlmath][0,\pi][/inlmath].
miljan1403 je napisao:[dispmath]f''(x)=-\sin x-\cos x[/dispmath][dispmath]\tan x<-1[/dispmath]
Ne znam kako si iz [inlmath]f''(x)=-\sin x-\cos x[/inlmath] došao do [inlmath]\text{tg }x<-1[/inlmath].
Pretpostavljam da si postavio uslov [inlmath]f''(x)>0[/inlmath], ali iz [inlmath]-\sin x-\cos x>0[/inlmath] ne sledi [inlmath]\text{tg }x<-1[/inlmath].
miljan1403 je napisao:Daniel je napisao:Znači, odrediš sve ove vrednosti, a zatim uzmeš onu koja je najmanja.
Da li misliš na vrednosti: [inlmath]f\left(\frac{\pi}{4}\right),f\left(\frac{5\pi}{4}\right),f(0),f(\pi)[/inlmath]
Mislim na sve koje si nabrojao izuzev [inlmath]f\left(\frac{5\pi}{4}\right)[/inlmath], budući da je, kao što rekoh, [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath] van granica intervala od interesa.
Naravno, nakon što uočavanjem da je drugi izvod u [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] negativan, tj. da u toj tački nemamo lokalni minimum već lokalni maksimum, ta tačka automatski otpada kao mogući kandidat, i za ispitivanje ostaju samo vrednosti u granicama intervala – [inlmath]f(0)[/inlmath] i [inlmath]f(\pi)[/inlmath].
miljan1403 je napisao:Daniel je napisao:A čak i da je bio u pitanju lokalni minimum, to još uvek ne mora ništa da znači.
Nisam siguran da uopšte razumem celu ovu priču oko funkcija, da li neko ima neki source ili neki link koji bi mi to lepo objasnio?
Ilustrovaću to na šta sam mislio jednim primerom. Neka se traži najmanja vrednost
neprekidne funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] (ovo
neprekidne je bitan uslov) na intervalu [inlmath][a,b][/inlmath]:
- najmanja vrednost.png (1.68 KiB) Pogledano 1225 puta
Kao što je prikazano na grafiku, funkcija iz tog primera ima jedan lokalni minimum na posmatranom intervalu [inlmath][a,b][/inlmath]. Međutim, vrednost u tački lokalnog minimuma neće biti i najmanja vrednost funkcije na tom intervalu. Vrednost u tački [inlmath]a[/inlmath] biće manja. Pošto je vrednost u tački [inlmath]b[/inlmath] veća od prethodne dve vrednosti, tj. [inlmath]f(a)<f(x_m)[/inlmath] i [inlmath]f(a)<f(b)[/inlmath], sledi da je [inlmath]f(a)[/inlmath] minimalna vrednost ove funkcije.
E, na to sam mislio kad sam rekao da su „kandidati“ za minimalnu vrednost funkcije na nekom intervalu – lokalni minimumi na tom intervalu (ako postoje) i vrednosti funkcije na granicama intervala.
Mada, cela ova priča je za neki opšti slučaj. Kod ove funkcije, ako bi za nju pokazao da je po svom obliku to zapravo sinusna funkcija (do čega bi došao primenjujući postupak iz linkovanog zadatka), bilo bi jasno da je vrednost lokalnih minimuma te funkcije ujedno i minimalna vrednost te funkcije.
miljan1403 je napisao:[dispmath]f''\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt2<0[/dispmath][dispmath]f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2[/dispmath] Zbirka kaže da ukoliko ubacimo stacionarne tačke u drugi izvod (to su tačke koje dobijamo kada prvi izvod izjednačimo sa nulom) i ukoliko je [inlmath]f''(x_0)<0[/inlmath] onda nam je tačka lokalnog maksimuma u [inlmath]f(x_0)[/inlmath]. A ukoliko je [inlmath]f''(x_0)>0[/inlmath] onda nam je tačka lokalnog maksimuma u [inlmath]f(x_0)[/inlmath]. Da li je to tačno?
Umesto ovog crvenog treba da stoji
minimuma. S tom ispravkom, tačno je, i upravo na to je primus hteo da te navede kad te pitao kada je [inlmath]f''(x)>0[/inlmath].
S obzirom na dobijenu negativnu vrednost za [inlmath]f''\left(\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath], zaključuješ da u toj tački imaš lokalni maksimum, prema tome, ta tačka samim tim ispada iz daljnjeg razmatranja.
miljan1403 je napisao:I onda dobijemo da je tačka minimuma [inlmath]-\sqrt2[/inlmath] u [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath]. Pošto je to van opsega koji nam je dat u zadatku onda nam se najmanja vrednost nalazi u [inlmath]f\left(\pi\right)[/inlmath]. Da li je ovo tačno?
Tačka lokalnog minimuma jeste u [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath], ali to nisi mogao zaključiti samo na osnovu [inlmath]f''\left(\frac{5\pi}{4}\right)>0[/inlmath], već se do toga dolazi i pokazavši da je [inlmath]f'\left(\frac{5\pi}{4}\right)=0[/inlmath]. Ali zbog čega uopšte i razgovaramo o toj tački, kad je ona izvan intervala koji posmatramo?
Mislim, isto tako smo mogli govoriti i o tačkama [inlmath]\frac{5\pi}{4}+2k\pi[/inlmath] (tj. tačke [inlmath]-\frac{\pi}{4}[/inlmath], [inlmath]\frac{13\pi}{4}[/inlmath]..., može se pokazati da su sve to lokalni minimumi ove funkcije, ali ovde je bitno da se nijedan od lokalnih minimuma ne nalazi unutar zadatog intervala.
Da, najmanja vrednost ove funkcije na zadatom intervalu jeste [inlmath]f(\pi)[/inlmath], tj. [inlmath]-1[/inlmath].