Pozdrav! Uradio sam jedan zadatak ali moj postupak (i samo rešenje) ima bitnih razlika u odnosu na postupak (i samo rešenje) iz zbirke. Rekao bih da je moj postupak tačan, al' prvi put se susrećem sa zadacima ovog tipa, pa velim bolje da neko prekontroliše.
Zadatak:
Za koje vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] funkcija [inlmath]f(x)={\large\frac{a^2-1}{3}}x^3+(a-1)x^2+2x+1[/inlmath] raste za sve [inlmath]x[/inlmath]?
Rešenje u zbirci: [inlmath](-\infty,-3)\cup(1,+\infty)[/inlmath]
Moj postupak:
[dispmath]f(x)=\frac{a^2-1}{3}x^3+(a-1)x^2+2x+1\\
f'(x)=\left(a^2-1\right)x^2+2(a-1)x+2\\
\left(a^2-1\right)x^2+2(a-1)x+2\ge0\\
1^\circ\qquad a^2-1=0\;\Longrightarrow\;a=\pm1[/dispmath] Za [inlmath]a=1[/inlmath] na levoj strani nejednakosti je [inlmath]2\ge0[/inlmath], pa ću [inlmath]a=1[/inlmath] uključiti u konačno rešenje. (Da je [inlmath]a=1[/inlmath] jedno od "rešenja" lako se proverava zamenom u početnu funkciju - nakon zamene dobija se linearna funkcija [inlmath]2x+1[/inlmath], linearni koeficijent je pozitivan pa je funkcija rastuća za svako [inlmath]x[/inlmath].)
Za [inlmath]a=-1[/inlmath] na levoj strani nejednakosti se dobija [inlmath]-4x+2[/inlmath], pa [inlmath]a=-1[/inlmath] odbacujem.
[dispmath]2^\circ\qquad a^2-1>0\;\land\;D\le0\\
\left.\begin{array}{l}
a^2-1>0\;\Longrightarrow\;a\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\\
D\le0\;\Longrightarrow\;a\in(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)
\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;a\in(-\infty,-3]\cup(1,+\infty)[/dispmath] I na kraju unija prvog i drugog slučaja daje konačno rešenje
[dispmath]\enclose{box}{a\in(-\infty,3]\cup[1,+\infty)}[/dispmath] U zbirci su postavili uslov [inlmath]f'(x)>0[/inlmath] (stroga nejednakost) i nisu razmatrali slučaj kada je kvadratni koeficijent (kod kvadratne nejednačine u prvom izvodu) jednak nuli.
Hvala!