Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Funkcija rastuća za svako x – odrediti vrednost parametra a

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Funkcija rastuća za svako x – odrediti vrednost parametra a

Postod Frank » Petak, 12. Mart 2021, 16:44

Pozdrav! Uradio sam jedan zadatak ali moj postupak (i samo rešenje) ima bitnih razlika u odnosu na postupak (i samo rešenje) iz zbirke. Rekao bih da je moj postupak tačan, al' prvi put se susrećem sa zadacima ovog tipa, pa velim bolje da neko prekontroliše.
Zadatak:

Za koje vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] funkcija [inlmath]f(x)={\large\frac{a^2-1}{3}}x^3+(a-1)x^2+2x+1[/inlmath] raste za sve [inlmath]x[/inlmath]?
Rešenje u zbirci: [inlmath](-\infty,-3)\cup(1,+\infty)[/inlmath]

Moj postupak:
[dispmath]f(x)=\frac{a^2-1}{3}x^3+(a-1)x^2+2x+1\\
f'(x)=\left(a^2-1\right)x^2+2(a-1)x+2\\
\left(a^2-1\right)x^2+2(a-1)x+2\ge0\\
1^\circ\qquad a^2-1=0\;\Longrightarrow\;a=\pm1[/dispmath] Za [inlmath]a=1[/inlmath] na levoj strani nejednakosti je [inlmath]2\ge0[/inlmath], pa ću [inlmath]a=1[/inlmath] uključiti u konačno rešenje. (Da je [inlmath]a=1[/inlmath] jedno od "rešenja" lako se proverava zamenom u početnu funkciju - nakon zamene dobija se linearna funkcija [inlmath]2x+1[/inlmath], linearni koeficijent je pozitivan pa je funkcija rastuća za svako [inlmath]x[/inlmath].)
Za [inlmath]a=-1[/inlmath] na levoj strani nejednakosti se dobija [inlmath]-4x+2[/inlmath], pa [inlmath]a=-1[/inlmath] odbacujem.
[dispmath]2^\circ\qquad a^2-1>0\;\land\;D\le0\\
\left.\begin{array}{l}
a^2-1>0\;\Longrightarrow\;a\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\\
D\le0\;\Longrightarrow\;a\in(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)
\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\;a\in(-\infty,-3]\cup(1,+\infty)[/dispmath] I na kraju unija prvog i drugog slučaja daje konačno rešenje
[dispmath]\enclose{box}{a\in(-\infty,3]\cup[1,+\infty)}[/dispmath] U zbirci su postavili uslov [inlmath]f'(x)>0[/inlmath] (stroga nejednakost) i nisu razmatrali slučaj kada je kvadratni koeficijent (kod kvadratne nejednačine u prvom izvodu) jednak nuli.
Hvala! :)
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Funkcija rastuća za svako x – odrediti vrednost parametra a

Postod martina_m » Petak, 12. Mart 2021, 17:46

Kada je izvod neke funkcije jednak nuli tada je obično ta tačka neka od ekstremnih vrednosti tj tu funkcija menja monotonost tako da se ovde samo piše [inlmath]D<0[/inlmath] i [inlmath]a>0[/inlmath].
Sad ako ovo nije tačno neka me neko ispravi.
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Funkcija rastuća za svako x – odrediti vrednost parametra a

Postod Daniel » Petak, 12. Mart 2021, 20:11

@Frank
Potvrđujem tačnost tvog postupka. :correct: Zbirka je previdela tu zamku na koju se ti nisi dao uloviti – da u slučaju kada su koeficijenti uz kubni i uz kvadratni član jednaki nuli, imamo rastuću linearnu funkciju, tako da se [inlmath]a=1[/inlmath] mora uključiti u skup rešenja.
Što se tiče [inlmath]a=-3[/inlmath], tu stvar već nije toliko očigledna – traži se da funkcija za svako [inlmath]x[/inlmath] bude ne monotono neopadajuća, već monotono rastuća (stroži uslov). Za [inlmath]a=-3[/inlmath] dobijamo da postoji tačka u kojoj je prvi izvod jednak nuli ([inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath]), tj. da je u pitanju stacionarna tačka, i reklo bi se da u toj tački funkcija nije monotono rastuća. Međutim, pošto u svakoj proizvoljno maloj okolini [inlmath]\varepsilon[/inlmath] tačke [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath] važi [inlmath]f\left(\frac{1}{2}-\varepsilon\right)<f\left(\frac{1}{2}\right)[/inlmath] i [inlmath]f\left(\frac{1}{2}+\varepsilon\right)>f\left(\frac{1}{2}\right)[/inlmath], ipak možemo reći da će i za [inlmath]a=-3[/inlmath] funkcija biti monotono rastuća za svako [inlmath]x[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 51 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 18:18 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs