Monotonost i ekstremne vrednosti – prijemni FTN Novi Sad 2014.

PostPoslato: Nedelja, 28. Mart 2021, 21:30
od Acim
Pozdrav,
Imam problem oko sledeće funkcije;
[dispmath]f\left(x\right)=\frac{x^2-5x+4}{x-5}[/dispmath]
Pri određivanju domena, imenilac treba da bude različit od nule; [inlmath]D\left(f\right)\colon\:x\in\left(-\infty,5\right)\cup\left(5,+\infty\right)[/inlmath]

Jedan od zahteva (na kojem sam pogrešio) jeste da se izračuna monotonost i ekstremne vrednosti ove funkcije.

Prvi izvod ove funkcije je; [inlmath]\frac{\left(2x-5\right)\left(x-5\right)-x^2+5x-4}{\left(x-5\right)^2}=\frac{x^2-10x+21}{\left(x-5\right)^2}[/inlmath]
E sad, vodio sam se time da će monotonost zavisiti samo od brojioca, iz razloga što imenilac nije u domenu;
Nule brojioca su [inlmath]7[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath]

Tu sam dobio da funkcija opada u intervalu [inlmath]\left(3,7\right)[/inlmath], dok raste za [inlmath]\left(-\infty,3\right)\cup\left(7,+\infty\right)[/inlmath]
Takođe dobio sam da je maximum [inlmath]y=3[/inlmath] za [inlmath]x=1[/inlmath], dok je minimum [inlmath]x=7[/inlmath] za [inlmath]x=9[/inlmath]

Međutim, kada sam pogledao u rešenju ispalo je da sam pogrešio. Oni su uvrstili imenilac u monotonost i to samim tim menja čitav smisao. Zbog čega su to uradili kad [inlmath](x-5)[/inlmath] nije definisan u domenu?
Samo da napomenem, uvek sam se vodio navedenim načinom za ovakve situacije kad imenilac nije definisan i za to se ispostavilo da nikad nije greška.
Hvala unapred na odgovoru.

Re: Monotonost i ekstremne vrednosti – prijemni FTN Novi Sad 2014.

PostPoslato: Utorak, 30. Mart 2021, 11:05
od Kosinus
Data funkcija i njen prvi izvod, su definisani za [inlmath]x\in\left(-\infty,5\right)\cup\left(5,+\infty\right)[/inlmath].
Iz tog razloga, ne može se reći da funkcija opada u intervalu [inlmath]x\in\left(3,7\right)[/inlmath], mora se isključiti [inlmath]x=5[/inlmath] jer tu nije definisana ni funkcija ni prvi izvod.

Stoga, funkcija raste za [inlmath]x\in\left(-\infty,3\right)\cup\left(7,+\infty\right)[/inlmath], a opada za [inlmath]x\in\left(3,5\right)\cup\left(5,7\right)[/inlmath]

Re: Monotonost i ekstremne vrednosti – prijemni FTN Novi Sad 2014.

PostPoslato: Utorak, 30. Mart 2021, 13:26
od Acim
Znači generalno u funkcijama ovakvog tipa imenilac iako nije definisan u domenu učestvuje u znaku domena, ali zato nikako ne može biti maksimum/minimum funkcije, jer ne pripada datom domenu?

Re: Monotonost i ekstremne vrednosti – prijemni FTN Novi Sad 2014.

PostPoslato: Utorak, 30. Mart 2021, 17:37
od Kosinus
Acim je napisao:Znači generalno u funkcijama ovakvog tipa imenilac iako nije definisan u domenu učestvuje u znaku domena,

Ne razumijem kako nije definisan, samo njegova nula ne pripada domenu funkcije.


Prvi izvod funkcije je [inlmath]y'=\frac{(x-3)(x-7)}{\left(x-5\right)^2}[/inlmath]
Faktori [inlmath](x-3)[/inlmath] i [inlmath](x-7)[/inlmath] mogu biti pozitivni ili negativni.
Faktor [inlmath]\left(x-5\right)^2[/inlmath] je uvijek pozitivan, osim za vrijednost [inlmath]x=5[/inlmath].

Znak prvog izvoda zavisi samo od brojioca, jer je imenilac uvijek pozitivan, ali za [inlmath]x=5[/inlmath] imenilac je jednak nuli i iz tog razloga moraš i njega uključiti u razmatranje.

Nule brojioca su stacionarne tačke (potencijalni maksimumi/minimumi), dok su nule imenioca prekidi funkcije (često su to vertikalne asimptote).

Re: Monotonost i ekstremne vrednosti – prijemni FTN Novi Sad 2014.

PostPoslato: Utorak, 30. Mart 2021, 21:23
od Acim
Loše sam se bio izrazio, hteo sam reći da učestvuje u intervalima rasta/opadanja funkcije, ne domena. Hvala na pomoći.

Re: Monotonost i ekstremne vrednosti – prijemni FTN Novi Sad 2014.

PostPoslato: Četvrtak, 01. April 2021, 23:14
od Daniel
Acim je napisao:Prvi izvod ove funkcije je; [inlmath]\frac{\left(2x-5\right)\left(x-5\right)-x^2+5x-4}{\left(x-5\right)^2}=\frac{x^2-10x+21}{\left(x-5\right)^2}[/inlmath]
E sad, vodio sam se time da će monotonost zavisiti samo od brojioca, iz razloga što imenilac nije u domenu;

Dakle, kao što ti je Kosinus i objasnio – ako izuzmemo [inlmath]x=5[/inlmath] za koje funkcija nije definisana zbog nule u imeniocu, monotonost će zaista zavisiti samo od brojioca, ali ne zbog toga što „imenilac nije u domenu“, već zbog toga što je imenilac pozitivan pa ne utiče na znak prvog izvoda.

Acim je napisao:Takođe dobio sam da je maximum [inlmath]y=3[/inlmath] za [inlmath]x=1[/inlmath], dok je minimum [inlmath]x=7[/inlmath] za [inlmath]x=9[/inlmath]

Ne razumem šta ovo predstavlja, ali rekao bih da si izgrešio u oznakama, i da treba da stoji [inlmath]x=3[/inlmath], [inlmath]y=1[/inlmath] za maksimum i [inlmath]x=7[/inlmath], [inlmath]y=9[/inlmath] za minimum.