Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Kvadratna jednacina s parametrom – probni prijemni ETF 2021.

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Kvadratna jednacina s parametrom – probni prijemni ETF 2021.

Postod emi » Nedelja, 27. Jun 2021, 11:51

Probni prijemni ispit ETF – 13. jun 2021.
19. zadatak


Neka su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] realna resenja (realni koreni) kvadratne jednacine [inlmath]x^2+px+1=0[/inlmath]. Vazice da je [inlmath]-2<x_1(1-x_1)<1[/inlmath] i [inlmath]-2<x_2(1-x_2)<1[/inlmath] ako i samo ako parametar [inlmath]p[/inlmath] pripada intervalu:
Resenje: [inlmath](E)\;\left(-\frac{5}{2},-2\right][/inlmath]

Resenja su realna, pa je [inlmath]D\ge0[/inlmath] i [inlmath]p\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)[/inlmath]

Posmatrala sam slucaj kada je [inlmath]D=0[/inlmath], jednacina onda ima samo [inlmath]1[/inlmath] resenje.
Kad sam zamenila u dobila sam [inlmath]x_1-x_1^2>-2[/inlmath] i [inlmath]x_1-x_1^2<1[/inlmath]
Resenje za prvu nejednacinu je interval [inlmath](-1,2)[/inlmath], a za drugu dobijamo kompleksna resenja
Posmatrajuci interval [inlmath](-1,2)[/inlmath] i njen grafik zakljucila sam da [inlmath]f(-1)>0[/inlmath] i [inlmath]f(2)>0[/inlmath]
gde sam dobila da [inlmath]p[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(-\frac{5}{2},2\right)[/inlmath]

Nasla sam presek i dobila da [inlmath]p[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(-\frac{5}{2},-2\right][/inlmath].

Dobila sam tacan rezultat, ali nisam ukljucila drugi slucaj kada su resenja razlicita. Ne znam kako da postavim zadatak sa razlicitim resenjima. :kojik:

Hvala na odgovoru
emi  OFFLINE
 
Postovi: 79
Zahvalio se: 58 puta
Pohvaljen: 56 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Kvadratna jednacina s parametrom – probni prijemni ETF 2021.

Postod Daniel » Nedelja, 04. Jul 2021, 23:21

Dakle, pošto je rečeno da su rešenja realna, samim tim mora biti [inlmath]x_1(1-x_1)<1[/inlmath], tako da u uslovu [inlmath]-2<x_1(1-x_1){\color{red}<1}[/inlmath] možemo reći da je ovaj crveni deo suvišan, a rešavanjem [inlmath]-2<x_1(1-x_1)[/inlmath] dolazi se do [inlmath]-1<x_1<2[/inlmath], kao što si i ti dobila. Naravno, sasvim ista priča važi i za [inlmath]x_2[/inlmath], tj. treba da važi i [inlmath]-1<x_2<2[/inlmath].

Nije potrebno razmatrati odvojeno slučajeve [inlmath]D=0[/inlmath] i [inlmath]D>0[/inlmath]. Sve se može odjednom uraditi za [inlmath]D\ge0[/inlmath]. Pošto oba rešenja moraju biti u intervalu [inlmath](-1,2)[/inlmath], potreban uslov za to je, kao što si napisala, [inlmath]f(-1)>0[/inlmath] i [inlmath]f(2)>0[/inlmath]. Ali, to nije i dovoljan uslov. Pogledajmo sledeće tri slike:

grafik kvadratne.png
grafik kvadratne.png (1.81 KiB) Pogledano 1101 puta

Na sve tri slike ispunjeni su uslovi [inlmath]f(-1)>0[/inlmath] i [inlmath]f(2)>0[/inlmath] (i, naravno, uslov nenegativnosti diskriminante). Međutim, vidimo da se na levoj slici i slici u sredini koreni nalaze izvan zadatog intervala [inlmath](-1,2)[/inlmath]. Zbog toga je potrebno još dodati uslov da se [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temana parabole nalazi unutar intervala [inlmath](-1,2)[/inlmath]. E, tek tada će biti osigurano da se i koreni nalaze u tom intervalu, kao na slici desno.

Pošto je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena kvadratne funkcije [inlmath]f(x)=ax^2+bx+c[/inlmath] data sa [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath], to ćemo ovde imati [inlmath]-1<-\frac{p}{2}<2[/inlmath], što kao rešenje daje [inlmath]p\in(-4,2)[/inlmath]. Ti si, izostavljanjem ovog potrebnog uslova ipak dobila tačno rešenje, jer je igrom slučaja u ovom konkretnom zadatku interval [inlmath](-4,2)[/inlmath] nadskup intervala [inlmath]\left(-\frac{5}{2},-2\right][/inlmath], pa će njihov presek (a samim tim i konačno rešenje zadatka) biti jednak ovom drugom intervalu [inlmath]\left(-\frac{5}{2},-2\right][/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 14 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 09:32 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs