Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Najveca i najmanja vrednost trigonometrijske funkcije – Zadaci za masinski fakultet

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Najveca i najmanja vrednost trigonometrijske funkcije – Zadaci za masinski fakultet

Postod Zisti1912 » Ponedeljak, 28. Jun 2021, 01:42

Pozdrav svima,

Da li bi neko mogao da mi objasni na koji nacin se dobijaju najvece i najmanje vrednosti (pretpostavljam da je to maksimum i minimum) funkcija, odnosno skup vrednosti uopste? Na primer zadatak glasi:

Zbir najmanje i najvece vrednosti funkcije [inlmath]f(x)=\cos^2x+\cos x+3[/inlmath] je:
Resenje:[inlmath]\frac{31}{4}[/inlmath]

Cela ta oblast mi nije jasna u celini, neki mi kazu da se radi preko izvoda, negde neki rade preko [inlmath]T(\alpha,\beta)[/inlmath]. Nista mi nije jasno. Ako moze mala pomoc, bio bih zahvalan.

Hvala unapred,
Zisti1912
 
Postovi: 33
Zahvalio se: 27 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Najveca i najmanja vrednost trigonometrijske funkcije – Zadaci za masinski fakultet

Postod Daniel » Ponedeljak, 28. Jun 2021, 10:46

Pretpostavljam da se [inlmath]T(\alpha,\beta)[/inlmath] odnosi na koordinate temena kvadratne funkcije.
Ako imamo kvadratnu funkciju, maksimalnu/minimalnu vrednost je moguće naći bilo preko izvoda, bilo preko koordinate temena.

Ako je funkcija neprekidna i glatka kao što je ova u zadatku, potreban uslov da bi ona u nekoj tački imala lokalni ekstremum jeste taj da je u toj tački izvod jednak nuli. Izjednačavanjem izvoda ove funkcije s nulom dobijamo da je [inlmath]x=k\pi[/inlmath] ili [inlmath]x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] ili [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/inlmath]. Sve te tačke su kandidati da budu one u kojima funkcija ima najveću ili najmanju vrednost. A koje od njih će zaista to i biti, vidimo po tome što te vrednosti ucrtavamo u trigonometrijsku kružnicu i računamo vrednost izraza za svaku od njih: [inlmath]x=k\pi[/inlmath] se grana na [inlmath]x=2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\pi+2k\pi[/inlmath], za prvu će vrednost izraza biti [inlmath]5[/inlmath], a za drugu će biti [inlmath]3[/inlmath]. Za [inlmath]x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] vrednost funkcije će biti [inlmath]\frac{11}{4}[/inlmath], za [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] isto tako. Ostalo je još samo da od vrednosti [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]\frac{11}{4}[/inlmath] vidimo koja je najveća a koja najmanja.



Drugi način za rešavanje ovog zadatka bio bi da uvedemo smenu [inlmath]\cos x=t[/inlmath], čime dobijamo kvadratnu funkciju po [inlmath]t[/inlmath]. Međutim, kako je [inlmath]-1\le\cos x\le1[/inlmath], tako moramo postaviti i uslov da je [inlmath]-1\le t\le1[/inlmath], tj. tražimo najveću i najmanju vrednost funkcije kada je [inlmath]t[/inlmath] u tom intervalu. A kada imamo neki interval za nezavisnu promenljivu, tada nije dovoljno proveriti vrednost funkcije samo u tački u kojoj je izvod jednak nuli, već se to mora učiniti i na granicama zadatog intervala, jer su tada i granice intervala kandidati za najveću i najmanju vrednost (vidi ovaj post). Dakle, teme kvadratne funkcije [inlmath]t^2+t+3[/inlmath] određujemo po formuli [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}[/inlmath] ([inlmath]x[/inlmath]-koordinata temana, tj. vrednost nezavisne promenljive [inlmath]t[/inlmath] za koju će funkcija imati ekstremnu vrednost), i [inlmath]y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{11}{4}[/inlmath] ([inlmath]y[/inlmath]-koordinata temena, tj. ekstremna vrednost kvadratne funkcije).
Na granicama intervala vrednosti funkcije su: za [inlmath]t=-1[/inlmath], vrednost funkcije je [inlmath]3[/inlmath], a za [inlmath]t=1[/inlmath], vrednost funkcije je [inlmath]5[/inlmath]. I, kao i u prethodnom načinu, ostalo je još uočiti koja je od tih vrednosti maksimalna a koja minimalna.

Preporučujem da pogledaš i ovu temu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 46 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 17:58 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs