Pretpostavljam da se [inlmath]T(\alpha,\beta)[/inlmath] odnosi na koordinate temena kvadratne funkcije.
Ako imamo kvadratnu funkciju, maksimalnu/minimalnu vrednost je moguće naći bilo preko izvoda, bilo preko koordinate temena.
Ako je funkcija neprekidna i glatka kao što je ova u zadatku, potreban uslov da bi ona u nekoj tački imala lokalni ekstremum jeste taj da je u toj tački izvod jednak nuli. Izjednačavanjem izvoda ove funkcije s nulom dobijamo da je [inlmath]x=k\pi[/inlmath] ili [inlmath]x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] ili [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/inlmath]. Sve te tačke su kandidati da budu one u kojima funkcija ima najveću ili najmanju vrednost. A koje od njih će zaista to i biti, vidimo po tome što te vrednosti ucrtavamo u trigonometrijsku kružnicu i računamo vrednost izraza za svaku od njih: [inlmath]x=k\pi[/inlmath] se grana na [inlmath]x=2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\pi+2k\pi[/inlmath], za prvu će vrednost izraza biti [inlmath]5[/inlmath], a za drugu će biti [inlmath]3[/inlmath]. Za [inlmath]x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] vrednost funkcije će biti [inlmath]\frac{11}{4}[/inlmath], za [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] isto tako. Ostalo je još samo da od vrednosti [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]\frac{11}{4}[/inlmath] vidimo koja je najveća a koja najmanja.
Drugi način za rešavanje ovog zadatka bio bi da uvedemo smenu [inlmath]\cos x=t[/inlmath], čime dobijamo kvadratnu funkciju po [inlmath]t[/inlmath]. Međutim, kako je [inlmath]-1\le\cos x\le1[/inlmath], tako moramo postaviti i uslov da je [inlmath]-1\le t\le1[/inlmath], tj. tražimo najveću i najmanju vrednost funkcije kada je [inlmath]t[/inlmath] u tom intervalu. A kada imamo neki interval za nezavisnu promenljivu, tada nije dovoljno proveriti vrednost funkcije samo u tački u kojoj je izvod jednak nuli, već se to mora učiniti i na granicama zadatog intervala, jer su tada i granice intervala kandidati za najveću i najmanju vrednost (vidi
ovaj post). Dakle, teme kvadratne funkcije [inlmath]t^2+t+3[/inlmath] određujemo po formuli [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}[/inlmath] ([inlmath]x[/inlmath]-koordinata temana, tj. vrednost nezavisne promenljive [inlmath]t[/inlmath] za koju će funkcija imati ekstremnu vrednost), i [inlmath]y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{11}{4}[/inlmath] ([inlmath]y[/inlmath]-koordinata temena, tj. ekstremna vrednost kvadratne funkcije).
Na granicama intervala vrednosti funkcije su: za [inlmath]t=-1[/inlmath], vrednost funkcije je [inlmath]3[/inlmath], a za [inlmath]t=1[/inlmath], vrednost funkcije je [inlmath]5[/inlmath]. I, kao i u prethodnom načinu, ostalo je još uočiti koja je od tih vrednosti maksimalna a koja minimalna.
Preporučujem da pogledaš i
ovu temu.