MATEMANIJA

Zdravo, zadatak glasi:
Dat je skup [inlmath]A=\{1,2,3\}[/inlmath] i neka je njegova relacija [inlmath]r=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3)\}[/inlmath] Odrediti da li je ova relacija RAT i ako jeste, nacrtati Haseov dijagram.

Ova relacija jeste RAT (ispunjava uslove refleksivnosti, antisimetričnosti i tranzitivnosti) e sad, problem je nastao kod samog dijagrama. Kako je osim dvojke, minimalan i [inlmath]1[/inlmath]? Tačno je da od [inlmath]1[/inlmath] nema naniže, ali on je u relaciji sa [inlmath]3[/inlmath], a uslov minimalnosti kaže da je element minimalan ako je u relaciji sa samim sobom (to je ovde tačno) i ako niko nije u relaciji sa njim (taj uslov ovde nije ispunjen za [inlmath]1[/inlmath] i onda on ne bi trebao da bude minimalan). Ista nejasnoća i za maksimalni - Jedini broj koji bi trebao da bude max je [inlmath]2[/inlmath], jer on jedini nije u relaciji ni sa kim osim sa samim sobom, dok je [inlmath]3[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]1[/inlmath] i to odmah narušava uslov da je element maksimalan.

Acim je napisao:a uslov minimalnosti kaže da je element minimalan ako je u relaciji sa samim sobom (to je ovde tačno) i ako niko nije u relaciji sa njim (taj uslov ovde nije ispunjen za [inlmath]1[/inlmath] i onda on ne bi trebao da bude minimalan).

Treba da praviš razliku između „nijedan element nije u relaciji s tim elementom“ i „taj element nije u relaciji ni s jednim elementom“. Za minimalni element zaista važi da nijedan element nije u relaciji s njim (što znači da taj, minimalni, element nema svoje prethodnike), ali ne mora važiti da taj element nije u relaciji ni s jednim elementom.
Pogledajmo definiciju. Element [inlmath]a[/inlmath] skupa [inlmath]S[/inlmath] je minimalan akko [inlmath]\lnot(\exists x\in S)(x\ne a\;\land\;x\rho a)[/inlmath]. To jest, akko ne postoji nijedan element u posmatranom skupu koji je u relaciji s njim (izuzev njega samog). To nije isto što i [inlmath]\lnot(\exists x\in S)(x\ne a\;\land\;x\rho a\;\land\;a\rho x)[/inlmath]. Mislim da si ti definiciju upravo tako protumačio, a kada bi definicija tako glasila, onda bi to zaista značilo da je samo dvojka minimalni element, ali to nije slučaj.

Znači, [inlmath]1[/inlmath] jeste minimalni element – nebitno je što je [inlmath]1[/inlmath] u relaciji sa [inlmath]3[/inlmath], bitno je da [inlmath]3[/inlmath] nije u relaciji sa [inlmath]1[/inlmath]. I ne samo [inlmath]3[/inlmath], bitno je da nijedan element posmatranog skupa nije u relaciji sa [inlmath]1[/inlmath].

Slično objašnjenje i za maksimalni element.