Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA FUNKCIJE

Neprekidnost funkcije

[inlmath]f\left(x\right)=x^3+\ln\left|x+1\right|[/inlmath]

Neprekidnost funkcije

Postod Acim » Utorak, 05. April 2022, 16:05

Ako je moguće, odrediti konstante [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] tako da funkcija
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
\frac{\sqrt{x^2+3}-\sqrt[3]{x^3+2x+5}}{x^2-3x+2}, & 0<x<1\\
A, & x=1\\
e^\frac{1}{1-x}+B, & x>1
\end{cases}[/dispmath] bude neprekidna nad intervalom [inlmath](0,\infty)[/inlmath]

Deo koji mi je jasan kod ovog zadatka je da treba da odredimo [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to1}e^\frac{1}{1-x}+B[/inlmath]. Međutim, ne znam koji od brojeva ([inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath]) da stavim kod limesa prve funkcije, tj. da li će ići [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^2+3}-\sqrt[3]{x^3+2x+5}}{x^2-3x+2}[/inlmath] ili [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x^2+3}-\sqrt[3]{x^3+2x+5}}{x^2-3x+2}[/inlmath]. Takođe, nisam siguran kako to da uradim nad navedenim domenom.

Još jedan deo koji me zanima - da je stajalo npr [inlmath]x<0[/inlmath] i [inlmath]x\ne1[/inlmath] što bismo onda uzimali u obzir [inlmath]1[/inlmath] a ne [inlmath]0[/inlmath] tj lim od tih brojeva. Profesor mi je rekao da je to zbog toga što je u toj tački funkcija drugačije definisana, ali opet to nisam shvatio najbolje.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Neprekidnost funkcije

Postod desideri » Četvrtak, 07. April 2022, 20:54

Kritično je [inlmath]x=1[/inlmath] jer se funkcija razmatra samo za [inlmath]x>0[/inlmath], tako je definisana. Dalje, jedini prekid koji bi mogla imati je u tački [inlmath]x=1[/inlmath]. To zavisi od [inlmath]A[/inlmath] i od [inlmath]B[/inlmath], da li ima prekid ili ne. Odrediš [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x^2+3}-\sqrt[3]{x^3+2x+5}}{x^2-3x+2}[/inlmath] i rezultat mora biti jednak [inlmath]A[/inlmath], da bi funkcija bila neprekidna. Tek sada nađeš [inlmath]B[/inlmath] iz desnog limesa [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to1+}e^\frac{1}{1-x}+B=A[/inlmath] i to je to.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +1

Re: Neprekidnost funkcije

Postod Daniel » Petak, 08. April 2022, 15:19

Samo da malo dopunim,
desideri je napisao:Odrediš [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x^2+3}-\sqrt[3]{x^3+2x+5}}{x^2-3x+2}[/inlmath] i rezultat mora biti jednak [inlmath]A[/inlmath],

ovde je bilo svejedno da li tražimo levi ili desni limes u [inlmath]1[/inlmath], jer su oba jednaka. Da su kojim slučajem levi i desni limes međusobno različiti, onda bi se, naravno, tražio levi limes ([inlmath]x\to1^-[/inlmath]).

Acim je napisao:Još jedan deo koji me zanima - da je stajalo npr [inlmath]x<0[/inlmath] i [inlmath]x\ne1[/inlmath] što bismo onda uzimali u obzir [inlmath]1[/inlmath] a ne [inlmath]0[/inlmath] tj lim od tih brojeva. Profesor mi je rekao da je to zbog toga što je u toj tački funkcija drugačije definisana, ali opet to nisam shvatio najbolje.

Ni ja nisam najbolje shvatio ovo pitanje.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Neprekidnost funkcije

Postod Acim » Utorak, 12. April 2022, 10:50

Kada hoću da izračunam ovaj prvi limes, tj: [inlmath]\lim\limits_{x\to1}\frac{\sqrt{x^2+3}-\sqrt[3]{x^3+2x+5}}{x^2-3x+2}[/inlmath] da li bi bilo ispravno da se uradi ovako, ili je pogrešna ideja:
[dispmath]\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x^2+3}+1-1-\sqrt[3]{x^3+2x+5}}{x^2-3x+2}=\frac{\sqrt{x^2+3}+1}{x^2-3x+2}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}-1}{\sqrt{x^2+3}-1}-\frac{\sqrt[3]{x^2+2x+5}+1}{x^2-3x+2}\cdot\frac{x^2+2x+5-\sqrt[3]{x^2+2x+5}+1}{x^2-3x+2}[/dispmath]
Daniel je napisao:Ni ja nisam najbolje shvatio ovo pitanje.

Postaviću isečak tog zadatka:
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
\displaystyle\frac{\sqrt{9-x}-6}{3+\sqrt[3]{x}}, & x\le9,\:x\ne-27\\
A, & x=-27
\end{cases}[/dispmath] Zbog čega u ovom slučaju ne bismo ispitivali [inlmath]\lim\limits_{x\to9-}\frac{\sqrt{9-x}-6}{3+\sqrt[3]{x}}[/inlmath] nego [inlmath]\lim\limits_{x\to-27}[/inlmath] od te funkcije?
P.S. tekst je isti, samo treba da se odredi konstanta [inlmath]A[/inlmath] tako da funkcija bude neprekidna nad svojim domenom.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

  • +2

Re: Neprekidnost funkcije

Postod Daniel » Četvrtak, 14. April 2022, 00:57

Acim je napisao:da li bi bilo ispravno da se uradi ovako, ili je pogrešna ideja:

Ideja je dobra, mada imaš nekoliko grešaka. Ne treba da dodaš i da oduzmeš jedinicu, već neku drugu vrednost. Ovako s jedinicom, imao si množenje sa [inlmath]\frac{\sqrt{x^2+3}-1}{\sqrt{x^2+3}-1}[/inlmath], i time dobijaš u brojiocu neki izraz koji za [inlmath]x=1[/inlmath] neće biti nula. Tebi je cilj da se oslobodiš nule u imeniocu, a to ćeš postići jedino tako što ćeš pogodnim množenjima dobiti nulu i u brojiocu, tako da se nulti faktori u brojiocu i imeniocu međusobno skrate.
Imaš i grešku u poslednjem razlomku, u kojem je trebalo da imenilac bude jednak brojiocu, a ni brojilac mu ne valja, jer si radi dobijanja zbira kubova [inlmath]a^3+b^3[/inlmath] množio [inlmath](a+b)[/inlmath] i [inlmath]\left(a^{\color{red}3}-ab+b^2\right)[/inlmath], umesto da množiš [inlmath](a+b)[/inlmath] i [inlmath]\left(a^{\color{red}2}-ab+b^2\right)[/inlmath].
Vodi i računa da trinom pod trećim korenom nije [inlmath]x^{\color{red}2}+2x+5[/inlmath], već [inlmath]x^{\color{red}3}+2x+5[/inlmath].

OK, kako onda pronaći vrednost koju treba dodati i oduzeti? Neka to bude neka vrednost [inlmath]a[/inlmath]. Imaćemo:
[dispmath]\frac{\sqrt{x^2+3}+a-\sqrt[3]{x^3+2x+5}-a}{x^2-3x+2}[/dispmath] Rastavljamo to na razliku dva razlomka,
[dispmath]\frac{\sqrt{x^2+3}+a}{x^2-3x+2}-\frac{\sqrt[3]{x^3+2x+5}+a}{x^2-3x+2}[/dispmath] Svakom od ova dva razlomka pomnožimo brojilac i imenilac vrednošću koja mu brojilac dopunjuje do razlike kvadrata odnosno do zbira kubova,
[dispmath]\frac{\sqrt{x^2+3}+a}{x^2-3x+2}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}-a}{\sqrt{x^2+3}-a}-\frac{\sqrt[3]{x^3+2x+5}+a}{x^2-3x+2}\cdot\frac{\sqrt[3]{\left(x^3+2x+5\right)^2}-a\sqrt[3]{x^3+2x+5}+a^2}{\sqrt[3]{\left(x^3+2x+5\right)^2}-a\sqrt[3]{x^3+2x+5}+a^2}[/dispmath] pa primenimo razliku kvadrata, odnosno zbir kubova,
[dispmath]\frac{x^2+3-a^2}{\left(x^2-3x+2\right)\left(\sqrt{x^2+3}-a\right)}-\frac{x^3+2x+5+a^3}{\left(x^2-3x+2\right)\left(\sqrt[3]{\left(x^3+2x+5\right)^2}-a\sqrt[3]{x^3+2x+5}+a^2\right)}[/dispmath] Pošto nam je u imeniocima problematičan taj faktor [inlmath](x-1)[/inlmath] zbog kojeg je za [inlmath]x=1[/inlmath] imenilac jednak nuli, potrebno je da i u brojiocima takođe imamo faktor [inlmath](x-1)[/inlmath] kako bi se on skratio s onim u imeniocu. A čim u brojicu treba da imamo faktor [inlmath](x-1)[/inlmath], to znači da za [inlmath]x=1[/inlmath] ovako napisani brojioci treba da budu jednaki nuli. Dakle, uvrstimo [inlmath]x=1[/inlmath] u brojioce, izjednačimo s nulom, i odredimo [inlmath]a[/inlmath]:
[dispmath]1^2+3-a^2=0\\
1^3+2\cdot1+5+a^3=0[/dispmath] odakle se dobije da je [inlmath]a=-2[/inlmath]. Dakle, to što smo brojiocu dodali a zatim oduzeli [inlmath]a[/inlmath], zapravo znači da prvo treba oduzeti, a zatim dodati [inlmath]2[/inlmath] (tim redom).
(Prikazao sam detaljan postupak određivanja [inlmath]a[/inlmath], iako bi nakon dosta ovakvih provežbanih zadataka vrednost [inlmath]a[/inlmath] bilo moguće u samom startu i „napipati“ bez nekog posebnog računanja.)

Uvrštavanjem [inlmath]a=-2[/inlmath] u gornji izraz, dobije se
[dispmath]\frac{x^2-1}{\left(x^2-3x+2\right)\left(\sqrt{x^2+3}+2\right)}-\frac{x^3+2x-3}{\left(x^2-3x+2\right)\left(\sqrt[3]{\left(x^3+2x+5\right)^2}+2\sqrt[3]{x^3+2x+5}+4\right)}[/dispmath] I, budući da su brojioci oba razlomka jednaki nuli za [inlmath]x=1[/inlmath], jasno je da moraju u sebi sadržati faktor [inlmath](x-1)[/inlmath]; rastavljanjem imenioca na faktore takođe se, očekivano, dobije da mu je jedan faktor [inlmath](x-1)[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\cancel{(x-1)}(x+1)}{\cancel{(x-1)}(x-2)\left(\sqrt{x^2+3}+2\right)}-\frac{\cancel{(x-1)}\left(x^2+x+3\right)}{\cancel{(x-1)}(x-2)\left(\sqrt[3]{\left(x^3+2x+5\right)^2}+2\sqrt[3]{x^3+2x+5}+4\right)}[/dispmath] Eliminisanjem faktora [inlmath](x-1)[/inlmath] iz brojioca i imenioca, isti više nisu jednaki nuli za [inlmath]x=1[/inlmath], tako da je sada sasvim jednostavno, uvrštavanjem [inlmath]x=1[/inlmath] u prethodni izraz, odrediti traženi limes.



Ovaj limes je moguće rešiti i bez dodavanja i oduzimanja [inlmath]a[/inlmath], tako što bi se na brojilac primenilo [inlmath]a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}[/inlmath] (radi oslobađanja od kvadratnog korena), a zatim [inlmath]a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}[/inlmath] (radi oslobađanja od kubnog korena). Može i obrnutim redosledom.
Preporučujem da isprobaš i taj način, pa da vidiš koji ti više odgovara.

Acim je napisao:Zbog čega u ovom slučaju ne bismo ispitivali [inlmath]\lim\limits_{x\to9-}\frac{\sqrt{9-x}-6}{3+\sqrt[3]{x}}[/inlmath] nego [inlmath]\lim\limits_{x\to-27}[/inlmath] od te funkcije?

Imam utisak da nisi razumeo šta suštinski znači neprekidna funkcija. Da sad ostavimo po strani one suvoparne definicije, neprekidnu funkciju na nekom intervalu najlakše je shvatiti kao takvu funkciju čiji je grafik na tom intervalu moguće nacrtati bez odvajanja olovke od papira – znači funkcija koja nema nagle skokove ili padove u nekoj tački. Dakle, ako želiš da ti ova funkcija bude neprekidna na intervalu [inlmath](-\infty,9][/inlmath] (na kom je definisana), onda je logično da u tački [inlmath]x=-27[/inlmath] mora imati istu onu vrednost kojoj funkcija teži kada se [inlmath]x[/inlmath] približava [inlmath]-27[/inlmath] (bilo s leve, bilo s desne strane).
Nasuprot tome, funkcija nije definisana za vrednosti [inlmath]x[/inlmath] veće od [inlmath]9[/inlmath], a za [inlmath]x=9[/inlmath] ova funkcija svakako ima istu onu vrednost kojoj teži kada se [inlmath]x[/inlmath] približava [inlmath]9[/inlmath], nezavisno od toga koliko iznosi konstanta [inlmath]A[/inlmath]. Zbog toga nema svrhe tražiti [inlmath]\lim\limits_{x\to9-}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Neprekidnost funkcije

Postod ethereallie13 » Nedelja, 17. April 2022, 17:40

pokusao sam da uradim pomocu [inlmath]a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}[/inlmath] i dobio sam ovo otprilike ali izgleda previse glomazno:
[dispmath]\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x^2+3}-\sqrt[3]{x^3+2x+5}}{x^2-3x+2}=\lim_{x\to1}\frac{\frac{x^2+3-\left(\sqrt[3]{x^3+2x+5}\right)^2}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt[3]{x^3+2x+5}}}{\frac{x^2-3x+2}{1}}=\\
=\lim_{x\to1}\frac{\frac{\left(x^2+3\right)^3-\left(x^3+2x+5\right)^2}{\left(x^2+3\right)^2+2\left(x^2+3\right)\left(\sqrt[3]{x^3+2x+5}\right)+\left(\sqrt[3]{x^3+2x+5}\right)^4}}{\left(x^2-3x+2\right)\left(\sqrt{x^2+3}+\sqrt[3]{x^3+2x+5}\right)}[/dispmath]
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 18. April 2022, 00:22, izmenjena samo jedanput
Razlog: Prekucavanje teksta sa slike u Latex, uklanjanje slike – tačke 13. i 14. Pravilnika
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Neprekidnost funkcije

Postod Daniel » Ponedeljak, 18. April 2022, 07:16

Ništa nemoj da te brine što je glomazno. Razvij u brojiocu [inlmath]\left(x^2+3\right)^3-\left(x^3+2x+5\right)^2[/inlmath] i pokratiće ti se šesti stepeni. Zatim, u brojiocu izvuci faktor [inlmath](x-1)[/inlmath] i nakon što u imeniocu faktorišeš [inlmath]\left(x^2-3x+2\right)[/inlmath] (koji takođe ima taj faktor), faktori [inlmath](x-1)[/inlmath] će se pokratiti, a pošto su upravo oni bili „problematični“ u smislu da je zbog njih razlomak za [inlmath]x=1[/inlmath] bio [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath], sada ćemo uvrštavanjem [inlmath]x=1[/inlmath] i u brojiocu i u imeniocu dobiti nenulte vrednosti, pa će vrednost limesa biti lako izračunati...

Imaš samo dve sitne greščice,
ethereallie13 je napisao:[dispmath]=\lim_{x\to1}\frac{\frac{\left(x^2+3\right)^3-\left(x^3+2x+5\right)^2}{\left(x^2+3\right)^2+{\color{red}2}\left(x^2+3\right){\color{blue}\left(\sqrt[3]{x^3+2x+5}\right)}+\left(\sqrt[3]{x^3+2x+5}\right)^4}}{\left(x^2-3x+2\right)\left(\sqrt{x^2+3}+\sqrt[3]{x^3+2x+5}\right)}[/dispmath]

crvena dvojka ti je suvišna (jer je [inlmath]a-b[/inlmath] jednako [inlmath]\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}[/inlmath] a ne [inlmath]\frac{a^3-b^3}{a^2+2ab+b^2}[/inlmath]), i plavo obeležen izraz treba da bude kvadriran.

Zamolio bih te da ubuduće obratiš pažnju na tačku 13. i na tačku 14. Pravilnika.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na FUNKCIJE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 42 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 22:06 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs