-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
milan7654
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Petak, 13. Maj 2022, 11:10
Čim se traži minimum, prvo što je potrebno uraditi to je naći prvi izvod i izjednačiti ga s nulom, [inlmath]f'(x)=4-\frac{9\pi^2}{x^2}+\cos x=0[/inlmath].
Ovo je transcendentna jednačina, što znači da se ne može rešiti analitičkim putem. Ali, nešto se tu ipak može uraditi ako uočimo da zbog ograničenosti vrednosti kosinusa na intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath] mora važiti [inlmath]-1\le4-\frac{9\pi^2}{x^2}\le1[/inlmath], odakle se, nakon malo sređivanja, dobije da [inlmath]x[/inlmath] mora pripadati intervalu [inlmath]\left[\frac{3\pi}{\sqrt5},\sqrt3\pi\right][/inlmath]. Može se uočiti da je na tom intervalu [inlmath]f'(x)[/inlmath] monotono rastuća funkcija. Takođe, uvrštavanjem se može pokazati da [inlmath]f'(x)[/inlmath] na levoj granici tog intervala ima negativnu a na desnoj granici intervala pozitivnu vrednost. Kako je [inlmath]f'(x)[/inlmath] na tom intervalu monotono rastuća (a i neprekidna) funkcija, sledi da na tom intervalu [inlmath]f'(x)[/inlmath] mora imati tačno jednu nulu. Ta nula se može „napipati“ ako se isprobavaju „lepe“ vrednosti za argument kosinusa (a „lepe“ vrednosti za argument kosinusa koje pripadaju tom intervalu su npr. [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{5\pi}{3}[/inlmath], jer za njih kosinus ima racionalne vrednosti). Ispostaviće se da se [inlmath]f'(x)=0[/inlmath] dobije baš za [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain