Dobro si odredila prve parcijalne izvode i potreban uslov ekstremuma:
[inlmath]\frac{\partial z}{\partial x}=2xe^{\frac{y}{4}}=0[/inlmath]
[inlmath]\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{4}\left( x^{2}+y+4 \right)e^{\frac{y}{4}}=0[/inlmath]
Iz prve jednačine je [inlmath]x=0[/inlmath] ili [inlmath]e^{\frac{y}{4}}=0[/inlmath]. Kako je [inlmath]e^{a}>0[/inlmath], ostaje da je [inlmath]x=0[/inlmath]. Zamenom te vrednosti u drugu jednačinu lako se dobija da je [inlmath]y=-4[/inlmath].
Dakle, stacionarna tačka je [inlmath]\left( x_{0},y_{0} \right)=\left( 0,-4 \right)[/inlmath].
Često se kod funkcija dve promenljive koriste kraće oznake:
[inlmath]z_{x}=\frac{\partial z}{\partial x},\space
z_{y}=\frac{\partial z}{\partial y}, \space
z_{xx}=\frac{\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}, \space
z_{xy}=\frac{\partial ^{2}z}{\partial x \partial y}, \space
z_{yy}=\frac{\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}[/inlmath]
pa ću dalje koristiti te oznake.
Drugi parcijalni izvodi su:
[inlmath]z_{xx}=2e^{\frac{y}{4}}, \space
z_{xy}=z_{yx}=\frac{1}{2}xe^{\frac{y}{4}}, \space
z_{yy}=\frac{1}{16}\left( x^{2}+y+8\right)e^{\frac{y}{4}}[/inlmath]
Vrednosti drugih izvoda u stacionarnoj tački [inlmath]\left( 0,-4 \right)[/inlmath] su
[inlmath]z_{xx}\left( 0,-4 \right)=2e^{-1}, \space
z_{xy}\left( 0,-4 \right)=0, \space
z_{yy}\left( 0,-4 \right)=\frac{1}{4}e^{-1}[/inlmath]
Hessian matrica date funkcije:
[inlmath]H_{z}\left( x,y \right)=\left[
\begin{matrix}
z_{xx}& z_{yx}\\
z_{xy} & z_{yy}
\end{matrix}
\right][/inlmath]
a u stacionarnoj tački [inlmath]\left( 0,-4 \right)[/inlmath] je
[inlmath]H_{z}\left( 0,-4 \right)=\left[
\begin{matrix}
2e^{-1} & 0\\
0 & \frac{1}{4}e^{-1}
\end{matrix}
\right][/inlmath]
Kako je vrednost determinante
[inlmath]\det\left( H_{z}\left( 0,-4 \right) \right)=\frac{1}{2}e^{-2}>0[/inlmath], data funkcija ima ekstremum.
a, kako je
[inlmath]z_{xx}\left( 0,-4 \right)=2e^{-1}>0[/inlmath], u pitanju je minimum.
Vrednost minimuma je
[inlmath]z\left( 0,-4 \right)=-4e^{-1}[/inlmath]