MATEMANIJA

Imam cetiri zadatka koja trenutno radim. Sva su u vezi pronalazenja intervala monotonosti, ekstremnih tacki kao i intervala kada je funkcija konkavna a kada konveksna i da se nadje tacka prevoja ukoliko je ima. Pisacu po jedan zadatak pa kada mi neko da objasnjenje na neka pitanja postavicu druge. Boldovacu i podvuci ono sto mi nije jasno.

1. Data je f-ja [inlmath]y=(x-2)^2(x-1)^3[/inlmath] Odrediti intervale monotonosti te f-je kao i ekstremne tacke. Data je funkcija [inlmath]y=e^{-2x^2}[/inlmath]. Odrediti intervale u kojima je f-ja konkavna, odnosno konveksna i nadji tacku prevoja ukoliko ima.
[dispmath]y=(x-2)^2\cdot(x-1)^3[/dispmath][dispmath]y'=\left[(x-2)^2\right]'\cdot(x-1)^3+(x-2)^2\cdot\left[(x-1)^3\right]'[/dispmath][dispmath]y'=[2(x-2)](x-1)^3+(x-2)^2\left[3(x-1)^2\right][/dispmath][dispmath]y'=(x-2)(x-1)^2\cdot[2(x-1)+3(x-2)][/dispmath][dispmath]y'=(x-2)(x-1)^2\cdot(2x-2+3x-6)[/dispmath][dispmath]y'=(x-2)(x-1)^2\cdot(5x-8)[/dispmath]
Ekstremne tacke: [inlmath]y'=0[/inlmath]
[dispmath](x-2)(x-1)^2(5x-8)=0[/dispmath][dispmath]x-2=0\quad x_1=2\quad T_1(2,0)\mbox{ min}[/dispmath][dispmath]x-1=0\quad x_2=1\quad T_2=(1,0)\mbox{ nije ekstr.}[/dispmath][dispmath]5x-8=0\quad x_3=\frac{8}{5}\quad T_3\left(\frac{8}{5},\frac{108}{3125}\right)\mbox{ max}[/dispmath]
[inlmath]y(2)=0[/inlmath]
[inlmath]y(1)=0[/inlmath]
[dispmath]y\left(\frac{8}{5}\right)=\left(\frac{8}{5}-2\right)^2\left(\frac{8}{5}-1\right)^3[/dispmath][dispmath]y\left(\frac{8}{5}\right)=\frac{4}{25}\cdot\frac{27}{125}=\frac{108}{3125}[/dispmath]
2. deo zadatka
[dispmath]y=e^{-2x^2}[/dispmath][dispmath]y'=e^{-2x^2}\cdot(-4x)[/dispmath][dispmath]y'=-4x\cdot e^{-2x^2}[/dispmath][dispmath]y''=(-4x)'\cdot e^{-2x^2}-4x\left(e^{-2x^2}\right)'[/dispmath][dispmath]y''=-4e^{-2x^2}-4x\left(-4xe^{-2x^2}\right)[/dispmath][dispmath]y''=-4e^{-2x^2}\left(1-4x^2\right)[/dispmath][dispmath]y''=4e^{-2x^2}(2x-1)(2x+1)[/dispmath]
Prevojne tacke:
[dispmath]4e^{-2x^2}(2x-1)(2x+1)=0[/dispmath]
[dispmath]e^{-2x^2}\mbox{ razlicito od }0[/dispmath]
[dispmath]2x-1=0\quad x_1=\frac{1}{2}\quad P_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt e}\right)[/dispmath][dispmath]2x+1=0\quad x_2=-\frac{1}{2}\quad P_2\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt e}\right)[/dispmath][dispmath]y\left(\frac{1}{2}\right)=e^{-2\cdot\frac{1}{4}}=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt e}[/dispmath][dispmath]y\left(-\frac{1}{2}\right)=e^{-2\cdot\frac{1}{4}}=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt e}[/dispmath]
Tabele za konveksnost i konkavnost i monotonost su mi ovde jasne.

Pokusao sam jos izmeniti post itd pise mi da ne mogu vise da ga menjam
Inace u prvom delu nije mi jasno od trece jednacine pa na dalje.
Nije mi jasno kod ekstremne tacke kako se dobije [inlmath]\frac{108}{3125}[/inlmath]
[inlmath]y\left(\frac{8}{5}\right)=\left(\frac{8}{5}-2\right)^2\left(\frac{8}{5}-1\right)^3[/inlmath] sto na drugi pa na treci ?


U drugom delu nije mi nista skoro jasno. Odakle [inlmath]-4x[/inlmath] u zagradi? ...

Sto se tice ekstremne tacke, zapravo se samo za [inlmath]x[/inlmath] stavlja brojna vrednost dobijena iz izjednacavanja izvoda sa nulom u polaznu funkciju... Otuda ti stepeni.

Ono [inlmath]-4x[/inlmath] iz zagrade potice iz izvoda slozene funkcije... Kad trazis izvod [inlmath]y'=-4x\cdot e^{-2x^2}[/inlmath] moras uzeti u obzir da je u pitanju slozena funkcija, pa se taj izraz javlja kao izvod funkcije [inlmath]{-2x^2}[/inlmath]

Nejasnoce kod prvog zadatka ti takodje poticu od pojavljivanja slozene funkcije u drugom redu... Mada tu ti nije neophodno da zadatak radis na taj nacin... Izvod onih kvadrata mozes da dobijes i kao izvod proizvoda. Ostalo je elementarno sredjivanje.

Ne kontam ni 4. jednacinu deo : [inlmath](2(x-1)+3(x-2))[/inlmath]. Ta i 3. su mi i dalje nejasne.

Trebaš da nađeš izvod sledeće funkcije:
[dispmath]y=f(x)=(x-2)^2\cdot(x-1)^3[/dispmath][dispmath]y'=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left((x-2)^2\cdot(x-1)^3\right)[/dispmath]
Upotrebiš formulu za izvod proizvoda:
[dispmath]y'=\left[{\color{red}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left((x-2)^2\right)}\cdot(x-1)^3\right]+\left[(x-2)^2\cdot{\color{blue}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left((x-1)^3\right)}\right][/dispmath]
Sad iskoristiš pravilo za složene funkcije:
[dispmath]y'=\left[{\color{red}2(x-2)\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x-2)}\cdot(x-1)^3\right]+\left[(x-2)^2\cdot{\color{blue}3(x-1)^2\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x-1)}\right][/dispmath]
Ova dva člana kada diferenciramo dobićemo [inlmath]1[/inlmath] tako da to možemo pisati:
[dispmath]y'=\left[2(x-2)\cdot(x-1)^3\right]+\left[(x-2)^2\cdot 3(x-1)^2\right][/dispmath]
Vidimo da je za oba sabirka zajednički [inlmath](x-2)(x-1)^2[/inlmath], pa ga izvlačimo ispred zagrade:
[dispmath]y'=(x-2)(x-1)^2\cdot\left[2(x-1)+3(x-2)\right][/dispmath]
Nakon toga se sve izmnoži i sabereš u zagradi i dobiješ:
[dispmath]y'=(x-2)(x-1)^2\cdot (5x-8)[/dispmath]
To je to

Hvala, to je pomoglo
Inace necu postavljati jos uvek preostala 3 uradjena zadatka dok ne skontam malo bolje i konkretno budem imao sta da pitam. Postavicu 2 neuradjena zadatka, koja su mi preostala i to je to.

1. Data je funkcija [dispmath]f(x)=(2x-1)^2(5x+2)^3[/dispmath] Ispitati intervale monotonosti te funkcije i odrediti ekstremne tacke

2. Pokazati da kriva [dispmath]f(x)=\frac{x^4}{3}-2x^2-\ln x[/dispmath] ne menja konkavnost

johnnybgood je napisao:1. Data je funkcija [dispmath]f(x)=(2x-1)^2(5x+2)^3[/dispmath] Ispitati intervale monotonosti te funkcije i odrediti ekstremne tacke

Potpuno isti princip kao zadatak s početka ove teme, samo su brojne vrednosti drugačije. Znači, nađeš prvi izvod te funkcije i odrediš u kojim intervalima je pozitivan (u tim intervalima je funkcija monotono rastuća), u kojim intervalima je negativan (u njima je funkcija monotono opadajuća), a u kojima je nula (to su ili ekstremne tačke ili prevojne tačke, a to ćeš odrediti na osnovu između kojih se intervala monotonosti nalaze).

johnnybgood je napisao:2. Pokazati da kriva [dispmath]f(x)=\frac{x^4}{3}-2x^2-\ln x[/dispmath] ne menja konkavnost

Pošto je konkavnost određena predznakom drugog izvoda, znači da ovde treba naći drugi izvod i pokazati da je on uvek istog predznaka za svako [inlmath]x[/inlmath].

Opet pitanje u vezi 1. zadatka gore:
[dispmath]y'=(x-2)(x-1)^2\cdot (2(x-1)+3(x-2))[/dispmath]
Ovde je receno da se [inlmath]x-2[/inlmath] i [inlmath]x-1[/inlmath] izvlace jer su zajednicki u trecoj jednacini ali me zanima zasto [inlmath](x-2)[/inlmath] nije stepenovano a [inlmath](x-1)^2[/inlmath] ?

U drugom delu zasto je [inlmath](2(x-1)+3(x-2))[/inlmath] Zasto je posle [inlmath]2[/inlmath], [inlmath](x-1)[/inlmath] a posle [inlmath]3[/inlmath], [inlmath](x-2)[/inlmath] kada je gore u zadatku posle [inlmath]2[/inlmath] [inlmath](x-2)[/inlmath] a posle [inlmath]3[/inlmath], [inlmath](x-1)[/inlmath]?


Takodje kod ekstremnih tacaka: [dispmath]y\frac{8}{5}=\left(\frac{8}{5}-2\right)^2 \left(\frac{8}{5}-1\right)^3[/dispmath] kako se dobije [dispmath]\frac{4}{25}\mbox{ i }\frac{108}{3125}[/dispmath]

OK imamo:
[dispmath]y'=\left[2(x-2)\cdot(x-1)^3\right]+\left[(x-2)^2\cdot 3(x-1)^2\right][/dispmath]
Ako zamenimo izraz [inlmath](x-2)[/inlmath] sa [inlmath]a[/inlmath], i [inlmath](x-1)[/inlmath] sa [inlmath]b[/inlmath] možemo celu jednačinu da pišemo ovako
[dispmath]y'=\left(2ab^3\right)+\left(3a^2b^2\right)[/dispmath] Vidimo da u prvom sabirku [inlmath]a[/inlmath] je samo na prvi stepen podignuto, pa ne možemo da izvlačimo veći stepen od toga. Što se tiče [inlmath]b[/inlmath] ono se pojavljuje na drugi i treći stepen pa možemo izbaciti ispred zagrade [inlmath]b^2[/inlmath]. Dakle, nakon izvlačenja:
[dispmath]y'=ab^2\left(2b+3a\right)[/dispmath]
tj.[dispmath]y'=(x-2)(x-1)^2\left[2(x-1)+3(x-2)\right][/dispmath]

johnnybgood je napisao:U drugom delu zasto je [inlmath](2(x-1)+3(x-2))[/inlmath] Zasto je posle [inlmath]2[/inlmath], [inlmath](x-1)[/inlmath] a posle [inlmath]3[/inlmath], [inlmath](x-2)[/inlmath] kada je gore u zadatku posle [inlmath]2[/inlmath] [inlmath](x-2)[/inlmath] a posle [inlmath]3[/inlmath], [inlmath](x-1)[/inlmath]?

Redosled činilaca prilikom množenja nije bitan, pa tako: [inlmath]2(x-2)(x-1)=(x-1)2(x-2)=(x-1)(x-2)2=\cdots[/inlmath] Mada uobičajno je da se koeficijenti stavljaju ispred promenljivih.

---

[dispmath]y\left(\frac{8}{5}\right)=\left(\frac{8}{5}-2\right)^2\left(\frac{8}{5}-1\right)^3[/dispmath][dispmath]=\left(\frac{8}{5}-\frac{10}{5}\right)^2\left(\frac{8}{5}-\frac{5}{5}\right)^3[/dispmath][dispmath]=\left(\frac{-2}{5}\right)^2\left(\frac{3}{5}\right)^3[/dispmath][dispmath]=\frac{4}{25}\cdot\frac{27}{125}[/dispmath][dispmath]=\frac{4\cdot 27}{25\cdot 125}[/dispmath][dispmath]=\frac{108}{3125}[/dispmath]

Zadatak br.2

Data je f-ja [dispmath]\frac{x^2+1}{x^2-1}[/dispmath] Odrediti intervale monotonosti i ekstremne tacke.
[dispmath]y'=\frac{\left(x^2+1\right)'\left(x^2-1\right)-\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)'}{\left(x^2-1\right)^2}[/dispmath][dispmath]\frac{2x\left(x^2-1\right)-2x\left(x^2+1\right)}{\left(x^2-1\right)^2}[/dispmath][dispmath]\frac{2x\left(x^2-1-x^2-1\right)}{\left(x^2-1\right)^2}[/dispmath][dispmath]\frac{-4x}{(x-1)^2(x+1)^2}[/dispmath]
Zasto se nalazi minus izmedju[dispmath]\left(x^2-1\right)-\left(x^2+1\right)[/dispmath] a ne plus? Od cega to zavisi?

Ekstremne tacke: [inlmath]y'=0\quad -4x=0\quad x=0\quad y(0)=1\quad T(0,1)[/inlmath] MAX
Kada je [inlmath]x=0[/inlmath] [inlmath]y(0)[/inlmath] je uvek [inlmath]1[/inlmath]?
Kad je MAX, MIN i NIJE EXTR?
Dalje imam monotonost ali da ne crtam tabelu na levoj strani je [inlmath]-2x[/inlmath], [inlmath](x-1)^2[/inlmath] , [inlmath](x+1)^2[/inlmath] , [inlmath]y'[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. Zasto [inlmath]-2x[/inlmath] a ne [inlmath]-4x[/inlmath]?

Iznad se nalazi [inlmath]-\infty[/inlmath], [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]+\infty[/inlmath]. Odakle [inlmath]-1[/inlmath] izmedju minus beskonacno i [inlmath]0[/inlmath] kada se [inlmath]-1[/inlmath] nigde ne pojavljuje? Do sada me monotonost nije bunila osim u ovom zadatku.