MATEMANIJA

zadatak glasi: odredi domen i kodomen funkcije
[inlmath]x^2+y^2=2[/inlmath] , domen nije problem, ali mi nije jasno kako da odredim kodomen

Prvo, ovo nije funkcija, jer, po definiciji, funkcija mora predstavljati jednoznačno preslikavanje [inlmath]x[/inlmath] u [inlmath]y[/inlmath], a ovde za određene vrednosti [inlmath]x[/inlmath] imamo dve različite vrednosti [inlmath]y[/inlmath]. Npr. za [inlmath]x=1[/inlmath] može biti [inlmath]y=-1[/inlmath] i [inlmath]y=1[/inlmath].

Ali, ako to zanemarimo, iz same ovakve implicitne jednačine, možemo uočiti simetričnost u odnosu na [inlmath]x[/inlmath] i na [inlmath]y[/inlmath].
To znači, između ostalog, i da će oblast definisanosti [inlmath]x[/inlmath] biti ista kao i oblast definisanosti [inlmath]y[/inlmath].

---

Drugi način je, ako malo upotrebimo analitičku geometriju, u kojoj jednačina kružnice glasi
[dispmath]x^2+y^2=R^2[/dispmath]
gde je [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik kružnice, ova naša jednačina se može napisati kao
[dispmath]x^2+y^2=\left(\sqrt 2\right)^2[/dispmath]
tj. to je kružnica poluprečnika [inlmath]\sqrt 2[/inlmath] s centrom u koordinatnom početku.

Prema tome, oblast definisanosti [inlmath]x[/inlmath] je [inlmath]x\in\left[-\sqrt 2,\sqrt 2\right][/inlmath], a takođe i oblast definisanosti [inlmath]y[/inlmath]: [inlmath]y\in\left[-\sqrt 2,\sqrt 2\right][/inlmath]

ahm, da,meni su samo u resenju dali kao postupak resavanja gde se napravi da je [inlmath]y=\pm\sqrt{2-x^2}[/inlmath], i posle je [inlmath]x[/inlmath] definisano za to ispod korena, ali mi za kodomen odvoje i napisu, kodomen za [inlmath]y_1[/inlmath] je [inlmath][-\sqrt{2},0][/inlmath] i za [inlmath]y_2[/inlmath] [inlmath][0,\sqrt{2}][/inlmath], u sustini je isto ali kako bi onda kodomen bio za [inlmath]y^2=-2x[/inlmath]?

jovica je napisao:kodomen za [inlmath]y_1[/inlmath] je [inlmath][-\sqrt{2},0][/inlmath] i za [inlmath]y_2[/inlmath] [inlmath][0,\sqrt{2}][/inlmath], u sustini je isto

E, pa, i nije baš sasvim isto. Ja sam u svom odgovoru namerno izbegao upotrebu reči „funkcija“, baš iz razloga koji sam naveo. Ali, oni su to posmatrali kao dve odvojene funkcije, jednu s negativnim vrednostima (čija je kriva ispod [inlmath]y[/inlmath]-ose), a drugu s pozitivnim vrednostima (čija je kriva iznad [inlmath]y[/inlmath]-ose). I to je sasvim ispravan postupak. A što se kodomena te dve funkcije tiče, da, kada bi se našla njihova unija, dobio bi se onaj skup vrednosti koji sam ja napisao.

jovica je napisao:ali kako bi onda kodomen bio za [inlmath]y^2=-2x[/inlmath]?

Ovde nemaš nikakva ograničenja za kodomen, pa kodomen obuhvata sve realne brojeve.
Zapravo, kada bi se opet to posmatralo kao dve funkcije, jedna s negativnim i druga s pozitivnim vrednostima, kodomen prve funkcije, [inlmath]y_1=-\sqrt{-2x}[/inlmath], bili bi svi negativni realni brojevi, tj. [inlmath]\left(-\infty,0\right][/inlmath], a kodomen druge funkcije, [inlmath]y_2=\sqrt{-2x}[/inlmath], bili bi svi pozitivni realni brojevi, tj. [inlmath]\left[0,+\infty,\right)[/inlmath]
Inače, ovo je jednačina parabole.

ahm, a jel mi mozes malo objasniti taj kodomen, sta on predstavlja u stvari, i neke naznake bar u kom smeru da razmisljam kada ga treba odrediti hvala

Funkcija je pravilo po kome preslikavamo elemente jednog skupa u drugi skup (uz uslov jednoznačnosti i definisanosti...), to možemo zapisati kao [inlmath]D_f\rightarrow\overline{D_f}[/inlmath]. Skup iz koga preslikavamo naziva se domen [inlmath]D_f[/inlmath], dok se skup u koji preslikavamo naziva kodomen [inlmath]\overline{D_f}[/inlmath], tj. promenljiva [inlmath]x[/inlmath] pripada domenu, a zavisna [inlmath]y[/inlmath] pripada kodomenu. Dakle kodomen je skup svih vrednosti koje [inlmath]f(x)[/inlmath] može da ima ([inlmath]f(x)[/inlmath] se često naziva slika elementa [inlmath]x[/inlmath]).

Kad se traži kodomen uglavnom se gleda vrednost funkcije u ekstremnim tačkama... Mislim da nema neko generalno pravilo..

A evo ti i nekoliko primera, ilustracije radi.

Kodomen sinusne (a isto tako i kosinusne) funkcije je interval [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath], budući da vrednost (ko)sinusa ne može biti manja od [inlmath]-1[/inlmath], kao ni veća od [inlmath]1[/inlmath].

Kodomen funkcije [inlmath]e^x[/inlmath] je skup svih strogo pozitivnih realnih brojeva, tj. [inlmath]\left(0,+\infty\right)[/inlmath], budući da je vrednost te funkcije uvek strogo pozitivna (tj. ne može biti negativna, niti nula).

Kodomen funkcije [inlmath]\left|x\right|[/inlmath] je skup svih nenegativnih brojeva (znači, pozitivni brojevi uključujući i nulu), budući da ta funkcija može imati i pozitivne vrednosti, ali i vrednost nula – jedino ne može imati negativnu vrednost. Znači, njen kodomen je [inlmath]\left[0,+\infty\right)[/inlmath].

Kvadratna funkcija [inlmath]ax^2+bx+c[/inlmath]:
– ako je [inlmath]a<0[/inlmath], tada je teme okrenuto prema gore, a kraci prema dole, pa kodomen ide sve od [inlmath]-\infty[/inlmath] pa do [inlmath]y[/inlmath]-koordinate temena, za koju znamo da znosi [inlmath]\frac{4ac-b^2}{4a}[/inlmath]; znači, kodomen je tada [inlmath]\left(-\infty,\frac{4ac-b^2}{4a}\right][/inlmath].
– ako je [inlmath]a>0[/inlmath], tada je teme okrenuto prema dole, a kraci prema gore, pa kodomen ide od [inlmath]y[/inlmath]-koordinate temena pa do [inlmath]+\infty[/inlmath]; znači, kodomen je tada [inlmath]\left[\frac{4ac-b^2}{4a},+\infty\right)[/inlmath].

Najprostije rečeno, kodomen bi bio skup svih vrednosti koje funkcija može da ima. (da čoveka ne zbune stroge definicije).

Funkcija [inlmath]f(x)=x[/inlmath] na primer može da ima bilo koju realnu vrednost jer se za [inlmath]x[/inlmath] može izabrati bilo koji broj.

Funkcija koju je i Daniel pomenuo, [inlmath]f(x)=|x|[/inlmath] može da ima bilo koju pozitivnu vrednost.

Funkcija [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath] isto tako.

Funkcija [inlmath]f(x)=x^3[/inlmath] može da ima sve realne vrednosti uz razne izbore [inlmath]x[/inlmath], pa je tu kodomen skup svih realnih brojeva.

Trigonometrijske funkcije kao što su sinusna i kosinusna, koje ne mogu da imaju vrednosti van intervala [inlmath][-1,1][/inlmath] imaju upravo navedeni kodomen.

Valjalo bi, preciznosti radi, naglasiti jednu stvar- kodomen funkcije i skup vrednosti koje ona može da ima, strkitno govoreći, nisu isto.

Generalno se uz analitičku formulu funkcije moraju definisati domen i kodomen, tj. šta se slika u šta. Tako bi se recimo uz [inlmath]f(x)=x[/inlmath] moralo dodatno reći o kom se preslikavanju tačno radi ([inlmath]\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;\mathbb{C}\to\mathbb{C},\;(0,5)\to (0,5),\;(0,5)\to\mathbb{R}[/inlmath]...) Međutim, kako se taj deo neretko preskače, pod domenom se, ako se drugačije ne naglasi, smatraju sve vrednosti za koje je funkcija definisana, a kodomenom sve odgovarajuće slike elemenata domena. U tom smislu se ponekad traži određivanje domena i kodomena. Striktno govoreći, kao što rekoh, kodomen nije isto što i skup svih vrednosti koje funkcija može da ima. Može se recimo kod funkcije [inlmath]f(x)=|x|[/inlmath] reći da je kodomen [inlmath][0,\infty)[/inlmath] ako je navedna samo formula, međutim, ako se uz analtičku formulu kaže da je preslikavanje iz [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] u [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], onda je kodomen [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], dakle, obuhvata i negativne realne brojeve, iako funkcija u suštini i ne može da primi takve vrednosti.

Da je poistovećivanje neopravdano možete naslutiti i znajući za to šta je surjekcija- tj. da svaki element iz kodomena jedne surjektivne funckije mora biti slika nekog elementa iz domena. Samim tim što postoje funkcije koje nisu surjektivne jasno je da ta njihova osobina ne mora da važi za sve funkcije- automatski slika i kodomen nisu isto. Međutim, ako se ne definiše ni domen ni kodomen, obično se traži upravo to da se ispita za koje [inlmath]x[/inlmath] je funkcija definisana (kao domen) i kakve sve vrednosti može da ima (kao kodomen).

Važno je pomenuti da je slika funkcije (skup vrednosti koje funkcija može da ima) uvek podskup kodomena (u graničnom slučaju, kod surjektivnih funkcija, su to isti skupovi, što se takođe ukalapa u definiciju). Možda će nekima tačnost tvrđenja biti problematična, pa ću se dodatno osvrnuti na to. Možda se pitate, šta ako kažem za funkciju [inlmath]f(x)=x[/inlmath] da je preslikvanje [inlmath][0,5]\to [0,5][/inlmath]? Suštinski ovde smo rekli da je kodomen [inlmath][0,5][/inlmath], a vrednosti koje analticki oblik funkcije daje mogu biti proizvoljne za razno [inlmath]x[/inlmath] pa bismo mogli zaključiti da je polazno tvrđenje pogrešno. Ali nije tako, jer [inlmath]x[/inlmath] ne može biti proizvoljno, već se vrednosti smeju uzimati samo iz domena. Sad će neko možda reći da može definisati preslikavanje i kao [inlmath]\mathbb{R}\to [0,5][/inlmath] uz istu analitičku formulu. Ali ne, to ne možemo uraditi. Po definiciji, svaki element domena mora imati svoju sliku u kodomenu, a uz ovako definisano preslikavanje to nije ispunjeno. Dakle, pošto svaki element domena mora imati svoju sliku u kodomenu, a ne mora svaki element iz kodomena biti slika nekog elementa iz kodomena- možemo zaključiti da kodomen i slika funkcije nisu isto (i da je ova druga uvek podskup kodomena).

ahm, hvala vam na objasnjenjima koristice sigurno!