Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Neprekidnost dvije promjenjive – problem s limesom

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Neprekidnost dvije promjenjive – problem s limesom

Postod Sarah54 » Ponedeljak, 08. Novembar 2021, 01:24

Pozdrav, zapela sam sa zadatkom i zamolila bih za pomoć. Data je funkcija [inlmath]f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}[/inlmath] sa
[dispmath]f(x,y)=\begin{cases}
xye^\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y)\ne(0,0)\\
0, & (x,y)=(0, 0)
\end{cases}[/dispmath]
U zadatku se traži da ispitamo neprekidnost date funkcije na [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath]. Dakle, pretpostavljam da je ova funkcija neprekidna jer je elementarna funkcija i da trebam ispitati šta se događa u tački [inlmath](0,0)[/inlmath], da li je tu neprekidna ili nije. Probala sam na dva načina i nisam uspjela da dobijem konkretan rezultat.
Prvi način
U ovom slučaju sam prebacila [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u polarne koordinate.
[dispmath]x=\rho\cos(\varphi)\\
y=\rho\sin(\varphi)\\
\rho\to0[/dispmath] Iz toga slijedi
[dispmath]\lim_{\rho\to0}{\rho^2\cos(\varphi)\sin(\varphi)e^{\frac{1}{\sqrt{\rho^2\left(\sin^2(\varphi)+\cos^2(\varphi)\right)}}}}=\lim_{\rho\to0}{\rho^2\cos(\varphi)\sin(\varphi)e^{\frac{1}{\rho}}}[/dispmath] I ovdje je dio gdje zapnem. Rekla bih da je [inlmath]0[/inlmath] zbog ovog [inlmath]\rho^2[/inlmath] jer šta god pomnoženo s nulom daje nulu, međutim nisam sigurna zbog ovog eksponenta.

Drugi način
Ovdje sam uzela da je [inlmath]y=kx[/inlmath], a da [inlmath]x\to0[/inlmath] i to uvrstila u limes i onda u limesu dobijem [inlmath]x^2k^2e^\frac{1}{\sqrt{x^2\left(1+k^2\right)}}[/inlmath]. S ovim ne znam šta da radim, da izvučem [inlmath]x^2[/inlmath] ne ide, ako uvrstim [inlmath]0[/inlmath] opet dobijem isti problem kao u prvom načinu.

Dakle, gdje griješim i kako da prevaziđem ove prepreke? Da li sam na dobrom putu ili pak postoji i neki treći način za rješavanje ovog limesa? Hvala!
Sarah54  OFFLINE
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 04. Decembar 2021, 17:05 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs