
Zadatak ima 2 dela, u prvom je dat niz i potrebno je odrediti konvergenciju. To sam odradio, i potvrdio u rešenjima.
Dakle, [inlmath]\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=1[/inlmath]
E, sad treba izračunati sledećeni limes: [inlmath]\lim\limits_{n\to+\infty}\left(e^{-\frac{2a_n}{n}}-\frac{1}{\left(1+\ln\left(1+\frac{a_n}{n}\right)\right)^2}\right)n^2[/inlmath]
Relativno lako se primeti da [inlmath]n^2[/inlmath] ide u [inlmath]+\infty[/inlmath], a izraz u zagradi u nulu, pa mora da se radi preko izvoda (Lopital) ili nekakvog razvoja.
Prvo ću ostaviti ovde "zvanično" rešenje zadatka, koje nažalost nisam uspeo da ispratim:
[dispmath]\lim_{n\to+\infty}\left(e^{-\frac{2a_n}{n}}-\frac{1}{\left(1+\ln\left(1+\frac{a_n}{n}\right)\right)^2}\right)n^2\\
=\lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{2a_n}{n}+\frac{2a_n^2}{n^2}-\left(1+\frac{a_n}{n}-\frac{a_n^2}{2n^2}\right)^{-2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)n^2\\
=\lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{2a_n}{n}+\frac{2a_n^2}{n^2}-1+\frac{2a_n}{n}-\frac{a_n^2}{n^2}-\frac{3a_n^2}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)n^2\\
=\lim_{n\to+\infty}-2a_n^2=-2[/dispmath] Prvo sam u rešenjima primetio "malo o", pa reših da pokušam sve tako da razvijem.
Imamo [inlmath]e^x=x+1+o(x)[/inlmath] i [inlmath]\ln(1+x)=x+o(x)[/inlmath].
Ovde je [inlmath]x:=-\frac{2a_n}{n}[/inlmath], jer kako se [inlmath]n[/inlmath] približava [inlmath]+\infty[/inlmath], tako se [inlmath]x[/inlmath] približava nuli (što je "uslov" za razvoj).
Međutim, tako nikako ne uspevam da dobijem [inlmath]\frac{a_n^2}{n^2}[/inlmath], pogotovo za ovo [inlmath]e[/inlmath] na početku zagrade.
Sad, ne znam da li je moguće koristiti izvod i razvoj u isto vreme? Možda su uzeli izvod iz [inlmath]e[/inlmath], a razvoj iz [inlmath]\ln[/inlmath]. Ali i tako sam pokušavao, i opet ne ide

I kad sam već tu, da pitam: šta bi bio izvod od [inlmath]a_n[/inlmath]?
Probao sam da rešim problem na WolframAlpha - on ne konta ništa, pitao sam i ChatGPT, on mi daje pogrešan rezultat ([inlmath]0[/inlmath]).
Nadam se da neko konta šta se ovde dešava, da mi da neki hint. Hvala unapred
