Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Izvod ili razvoj? (nula puta beskonačno)

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Izvod ili razvoj? (nula puta beskonačno)

Postod zivkovicslobodan » Ponedeljak, 29. Maj 2023, 03:54

Već 3 sata pokušavam da rešim ovaj zadatak, a ispit iz analize za 5 dana, pa se nadam da ćete mi pomoći da malo ubrzam proces :D

Zadatak ima 2 dela, u prvom je dat niz i potrebno je odrediti konvergenciju. To sam odradio, i potvrdio u rešenjima.
Dakle, [inlmath]\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=1[/inlmath]

E, sad treba izračunati sledećeni limes: [inlmath]\lim\limits_{n\to+\infty}\left(e^{-\frac{2a_n}{n}}-\frac{1}{\left(1+\ln\left(1+\frac{a_n}{n}\right)\right)^2}\right)n^2[/inlmath]
Relativno lako se primeti da [inlmath]n^2[/inlmath] ide u [inlmath]+\infty[/inlmath], a izraz u zagradi u nulu, pa mora da se radi preko izvoda (Lopital) ili nekakvog razvoja.

Prvo ću ostaviti ovde "zvanično" rešenje zadatka, koje nažalost nisam uspeo da ispratim:
[dispmath]\lim_{n\to+\infty}\left(e^{-\frac{2a_n}{n}}-\frac{1}{\left(1+\ln\left(1+\frac{a_n}{n}\right)\right)^2}\right)n^2\\
=\lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{2a_n}{n}+\frac{2a_n^2}{n^2}-\left(1+\frac{a_n}{n}-\frac{a_n^2}{2n^2}\right)^{-2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)n^2\\
=\lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{2a_n}{n}+\frac{2a_n^2}{n^2}-1+\frac{2a_n}{n}-\frac{a_n^2}{n^2}-\frac{3a_n^2}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)n^2\\
=\lim_{n\to+\infty}-2a_n^2=-2[/dispmath] Prvo sam u rešenjima primetio "malo o", pa reših da pokušam sve tako da razvijem.
Imamo [inlmath]e^x=x+1+o(x)[/inlmath] i [inlmath]\ln(1+x)=x+o(x)[/inlmath].
Ovde je [inlmath]x:=-\frac{2a_n}{n}[/inlmath], jer kako se [inlmath]n[/inlmath] približava [inlmath]+\infty[/inlmath], tako se [inlmath]x[/inlmath] približava nuli (što je "uslov" za razvoj).
Međutim, tako nikako ne uspevam da dobijem [inlmath]\frac{a_n^2}{n^2}[/inlmath], pogotovo za ovo [inlmath]e[/inlmath] na početku zagrade.

Sad, ne znam da li je moguće koristiti izvod i razvoj u isto vreme? Možda su uzeli izvod iz [inlmath]e[/inlmath], a razvoj iz [inlmath]\ln[/inlmath]. Ali i tako sam pokušavao, i opet ne ide :facepalm:
I kad sam već tu, da pitam: šta bi bio izvod od [inlmath]a_n[/inlmath]?

Probao sam da rešim problem na WolframAlpha - on ne konta ništa, pitao sam i ChatGPT, on mi daje pogrešan rezultat ([inlmath]0[/inlmath]).
Nadam se da neko konta šta se ovde dešava, da mi da neki hint. Hvala unapred :)
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Izvod ili razvoj? (nula puta beskonačno)

Postod Daniel » Ponedeljak, 29. Maj 2023, 07:26

zivkovicslobodan je napisao:Imamo [inlmath]e^x=x+1+o(x)[/inlmath] i [inlmath]\ln(1+x)=x+o(x)[/inlmath].
Ovde je [inlmath]x:=-\frac{2a_n}{n}[/inlmath], jer kako se [inlmath]n[/inlmath] približava [inlmath]+\infty[/inlmath], tako se [inlmath]x[/inlmath] približava nuli (što je "uslov" za razvoj).
Međutim, tako nikako ne uspevam da dobijem [inlmath]\frac{a_n^2}{n^2}[/inlmath], pogotovo za ovo [inlmath]e[/inlmath] na početku zagrade.

Pošto izvan zagrade imamo [inlmath]n^2[/inlmath], moramo razvijati sve do onog člana koji ima [inlmath]n^2[/inlmath] u imeniocu, kako bi se ta dva [inlmath]n^2[/inlmath] pokratila. U suprotnom, i dalje će nam izvan zagrade ostati činilac koji teži beskonačnosti (što znači da će izraz unutar zagrade težiti nuli), pa bismo opet imali množenje nule beskonačnošću.
Dakle, koristi se [inlmath]e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)[/inlmath] i [inlmath]\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)[/inlmath].
Takođe, i [inlmath](1+x)^{-2}=1-2x+3x^2+o\left(x^2\right)[/inlmath].

zivkovicslobodan je napisao:I kad sam već tu, da pitam: šta bi bio izvod od [inlmath]a_n[/inlmath]?

A otkud to da znamo, kad nisi napisao izraz za [inlmath]a_n[/inlmath]? Štaviše, nisi uopšte napisao tekst zadatka (tačka 11. Pravilnika), ali nisam hteo da uklanjam post jer se jesi potrudio i oko postupka i oko Latexa.

zivkovicslobodan je napisao:pitao sam i ChatGPT, on mi daje pogrešan rezultat ([inlmath]0[/inlmath]).

Moja je preporuka da ChatGPT zaobilaziš u širokom luku. :) Kad bi meni ChatGPT potvrdio rezultat koji sam ja dobio, ozbiljno bih posumnjao u ispravnost svog rezultata. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Izvod ili razvoj? (nula puta beskonačno)

Postod zivkovicslobodan » Ponedeljak, 29. Maj 2023, 17:37

Puno hvala za odgovor! Potpuno sam zaboravio da razvoj može da ide do beskonačnog stepena, pa odatle i kvadrati...

Izvinjavam se za nepoštovanje pravilnika. Prvi deo zadatka nije bitan za glavni problem (limes), pa sam ga zbog toga zaobišao. Posle sam se setio da pitam za izvod, a zaboravio da nisam napisao definiciju niza.

Uglavnom, evo definicije niza: [inlmath]\displaystyle a_1=\frac{1}{5}[/inlmath], [inlmath]\displaystyle a_{n+1}=\frac{5a_n}{2a_n^2+3}[/inlmath].
Sada mi nije toliko bitno, jer sam našao rešenje glavnog dela zadatka, ali evo čisto da ne bude nepotpun zadatak.

Još jednom, hvala :D
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 2 puta


Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 21. April 2024, 04:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs