[dispmath]\lim_{x\to 0}\left(\mathrm{ctg}\:x\right)^{\frac{1}{\ln x}}=\lim_{x\to 0}\:e^{\ln\left(\mathrm{ctg}\:x\right)^{\frac{1}{\ln x}}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\ln\left(\mathrm{ctg}\:x\right)^{\frac{1}{\ln x}}}[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to 0}\ln\left(\mathrm{ctg}\:x\right)^{\frac{1}{\ln x}}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\ln x}\ln\mathrm{ctg}\:x=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\frac{\cos x}{\sin x}}{\ln x}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\cos x-\ln\sin x}{\ln x}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\cos x-\ln\left(\frac{\sin x}{x}\cdot x\right)}{\ln x}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\cos x-\left(\cancelto{0}{\enclose{circle}{\ln\cancelto{1}{\frac{\sin x}{x}}}}+\ln x\right)}{\ln x}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\cos x-\ln x}{\ln x}=\lim_{x\to 0}\cancelto{0}{\enclose{circle}{\frac{\cancelto{0}{\ln\cos x}}{\cancelto{-\infty}{\ln x}}}}-1=-1[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad e^{\lim\limits_{x\to 0}\ln\left(\mathrm{ctg}\:x\right)^{\frac{1}{\ln x}}}=e^{-1}[/dispmath]

Hvala
Ja sam to probavao rješiti ovako:
[dispmath]\lim_{x\to 0}[1+(\mathrm{ctg}\:x-1)]^{\frac{1}{\mathrm{ctg}\:x-1}\frac{\mathrm{ctg}\:x-1}{\ln x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{ctg}\:x-1}{\ln x}}[/dispmath]
pa onda rješavati taj limes u eksponentu, ali se dobija brskonačnost, zato mi nije bilo jasno....

[dispmath]\lim_{x\to{\color{red}0}}\left[1+\left(\mathrm{ctg}\:x-1\right)\right]^{\frac{1}{\mathrm{ctg}\:x-1}}{\color{red}\ne}\:e[/dispmath]
Taj limes bi ti se svodio na[dispmath]\lim_{n\to{\color{red}\infty}}\left(1+n\right)^\frac{1}{n}[/dispmath]koji nije jednak [inlmath]e[/inlmath].

Nemoj ga mešati s limesom[dispmath]\lim_{n\to{\color{red}0}}\left(1+n\right)^\frac{1}{n}[/dispmath]koji jeste jednak [inlmath]e[/inlmath].

Takođe, obrati pažnju i na sledeće limese:[dispmath]\lim_{n\to{\color{red}\infty}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n{\color{red}=}\:e,\quad\lim_{n\to{\color{red}0}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n{\color{red}\ne}\:e[/dispmath]

Hm, ček... nije mi jasno

Zar ovo
[dispmath]\lim_{x\to 0}[1+(\mathrm{ctg}\:x-1)]^{\frac{1}{\mathrm{ctg}\:x-1}\frac{\mathrm{ctg}\:x-1}{\ln x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{ctg}\:x-1}{\ln x}}[/dispmath]
gdje je [inlmath](\mathrm{ctg}\:x-1)=n[/inlmath]
nije svedeno na ovo [dispmath]\lim_{n\to{\color{red}0}}\left(1+n\right)^\frac{1}{n}[/dispmath] ?



Kada onda raditi ovako: [dispmath]\lim_{x\to 0}\left(\mathrm{ctg}\:x\right)^\frac{1}{\ln x}=\lim_{x\to 0}\:e^{\ln\left(\mathrm{ctg}\:x\right)^\frac{1}{\ln x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\ln\left(\mathrm{ctg}\:x\right)^\frac{1}{\ln x}}\cdots[/dispmath]
a kada ovako: [dispmath]\lim_{x \to 0}[1+(\mathrm{ctg}\:x-1)]^{\frac{1}{\mathrm{ctg}\:x -1}\frac{\mathrm{ctg}\:x-1}{\ln x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{ctg}\:x-1}{\ln x}}\cdots[/dispmath]

Za [inlmath]x\to 0[/inlmath] važi [inlmath]\mathrm{ctg}\:x\to\infty[/inlmath], samim tim i [inlmath]n\to\infty[/inlmath].

Zanimljivo, na taj detalj uopće nisam obratio pažnju pri rješavanju ovakvih tipova. To je ujedno i odgovor na moj prethodni post. Puno hvala!

[dispmath]\lim_{x\to 0}\left(1+e^x-2^x\right)^\frac{1}{x}[/dispmath]
U zadatku se traži rješenje bez L'H, što ne mogu dobiti. S L'H se dobije [inlmath]\frac{e}{2}[/inlmath] kao rješenje zadatka.

E, kod ovog limesa [inlmath]e^x-2^x[/inlmath] teži nuli, tako da, za razliku od onog prethodnog, ovaj limes možemo svesti na oblik [inlmath]\lim\limits_{n\to 0}\left(1+n\right)^\frac{1}{n}[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{x\to 0}\left(1+e^x-2^x\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}\left[\left(1+e^x-2^x\right)^{\frac{1}{e^x-2^x}}\right]^\frac{e^x-2^x}{x}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-2^x}{x}}[/dispmath]
Pa sad računamo ovaj limes u eksponentu:
[dispmath]\lim_{x\to 0}\frac{e^x-2^x}{x}=\lim_{x\to 0}\cancelto{1}{2^x}\frac{\left(\frac{e}{2}\right)^x-1}{x}=\lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{\left(\frac{e}{2}\right)^x-1}\cdot x\right]^{-1}=\lim_{x\to 0}\left[\frac{1}{\left(\frac{e}{2}\right)^x-1}\log_\frac{e}{2}\left(\frac{e}{2}\right)^x\right]^{-1}=[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{x\to 0}\left\{\frac{1}{\left(\frac{e}{2}\right)^x-1}\log_\frac{e}{2}\left[1+\left(\frac{e}{2}\right)^x-1\right]\right\}^{-1}=\lim_{x\to 0}\left\{\log_\frac{e}{2}\left[1+\left(\frac{e}{2}\right)^x-1\right]^\frac{1}{\left(\frac{e}{2}\right)^x-1}\right\}^{-1}=[/dispmath]
[dispmath]=\left\{\log_\frac{e}{2}\lim_{x\to 0}\left[1+\left(\frac{e}{2}\right)^x-1\right]^\frac{1}{\left(\frac{e}{2}\right)^x-1}\right\}^{-1}=\left(\log_\frac{e}{2}e\right)^{-1}=[/dispmath]
(pošto [inlmath]\left(\frac{e}{2}\right)^x-1\to 0[/inlmath] kada [inlmath]x\to 0[/inlmath], ovde smo mogli primeniti [inlmath]\lim\limits_{n\to 0}\left(1+n\right)^\frac{1}{n}=e[/inlmath].)
[dispmath]=\log_e\frac{e}{2}=\ln\frac{e}{2}=\ln e-\ln 2=1-\ln 2[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\lim_{x\to 0}\left(1+e^x-2^x\right)^{\frac{1}{x}}=e^{1-\ln 2}=\frac{e}{e^{\ln 2}}=\frac{e}{2}[/dispmath]

Uu, svaka čast za dosjetku

Nije mi samo jasan kraj zadatka, tj. kako se iz ovog [dispmath]\left(\log_\frac{e}{2}e\right)^{-1}[/dispmath] dobije ovo
[dispmath]=\log_e\frac{e}{2}=\ln\frac{e}{2}=\ln e-\ln 2=1-\ln 2[/dispmath]

To sledi iz osobine logaritma da je[dispmath]\frac{1}{\log_a b}=\log_b a[/dispmath]pa je[dispmath]\left(\log_\frac{e}{2}e\right)^{-1}=\frac{1}{\log_\frac{e}{2}e}=\log_e\frac{e}{2}=\ln\frac{e}{2}=\cdots[/dispmath]