MATEMANIJA

Zdravo, imam problem sa još jednim limesom.

Limes kad [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačno za ceo ovaj izraz/niz:
[dispmath]\frac{1+3+\cdots +(2n-1)}{n+1}-\frac{2n+1}{2}[/dispmath]
Jer, ako podelim sa [inlmath]n[/inlmath] gore i dole, [inlmath]\frac{1+3+\cdots +(2n-1)}{n+1}[/inlmath] će biti [inlmath]\frac{2}{1}[/inlmath], tj. [inlmath]2[/inlmath], ali [inlmath]\frac{2n+1}{2}[/inlmath] će biti [inlmath]\frac{2}{0}[/inlmath], tj. [inlmath]\infty[/inlmath]

Tako da će ceo niz biti
[dispmath]2-\infty=-\infty[/dispmath]
Je l' to moguće kao rešenje?

Zdravo, pre nego što krenem sa samim zadatkom, odmah da ti skrenem pažnju na jednu „zamku“ u koju treba da paziš da ne upadneš.

PocetnikSRB je napisao:Jer, ako podelim sa [inlmath]n[/inlmath] gore i dole, [inlmath]\frac{1+3+\cdots +(2n-1)}{n+1}[/inlmath] će biti [inlmath]\frac{2}{1}[/inlmath]

Ovde je fora u tome da gore [inlmath]2n-1[/inlmath] nije jedini sabirak, već, kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath], pre njega ima beskonačno mnogo sabiraka (od kojih su oni poslednji čak vrlo bliski [inlmath]n[/inlmath] tako da i oni teže [inlmath]\infty[/inlmath]), pa zbog toga ne možemo znati koji ćemo broj dobiti skraćivanjem sa [inlmath]n[/inlmath] i hoće li taj broj koji dobijemo uopšte i biti konačan.
Gore, zapravo, imamo sumu aritmetičkog niza, a suma tog niza, tj. ono što je ovde u brojiocu razlomka, biće:
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)[/dispmath][dispmath]S_n=\frac{n}{2}\left(1+2n-1\right)[/dispmath][dispmath]S_n=n^2[/dispmath]
(Eto, kad bismo to skratili sa [inlmath]n[/inlmath], dobili bismo [inlmath]n[/inlmath], upravo ono [inlmath]n[/inlmath] koje teži beskonačnosti.)

Prema tome, izraz koji tražimo postaje:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^2}{n+1}-\frac{2n+1}{2}\right)[/dispmath]
Sada, jednostavno, oduzmemo ova dva razlomka...
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-\left(2n+1\right)\left(n+1\right)}{2\left(n+1\right)}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-2n^2-3n-1}{2\left(n+1\right)}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{n\to\infty}\frac{-3n-1}{2\left(n+1\right)}=\lim_{n\to\infty}\frac{-3-\frac{1}{n}}{2\left(1+\frac{1}{n}\right)}=-\frac{3}{2}[/dispmath]

Evo i ovaj

limes kad [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačno za
[dispmath]\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}[/dispmath]
Ne znam šta bi sad trebalo, ali ako se npr. podeli sve sa [inlmath]n[/inlmath], dobiće se [inlmath]\frac{\frac{1}{n}}{n+1}[/inlmath] gde je [inlmath]\frac{1}{n}=0[/inlmath] a [inlmath]n+1=\infty[/inlmath]

Tako da se dobije da
[dispmath]\frac{\frac{1}{n}}{n+1}=\frac{0}{\infty}=0?[/dispmath]

Aha, jasno

Baš kada si mi odgovorio za prošli zadatak, ja sam već poslao sledeći koji je sličan


Hvala još jednom!

Znači, isti slučaj kao i u prošlom zadatku, ne možeš zanemariti sabirke pre ovog poslednjeg.

Ovaj izraz možemo napisati kao
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left[\frac{2-1}{1\cdot 2}+\frac{3-2}{2\cdot 3}+\frac{4-3}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{n-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\cdot n}+\frac{\left(n+1\right)-n}{n\cdot\left(n+1\right)}\right]=[/dispmath][dispmath]=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{2}{1\cdot 2}-\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{3}{2\cdot 3}-\frac{2}{2\cdot 3}+\frac{4}{3\cdot 4}-\frac{3}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{n}{\left(n-1\right)\cdot n}-\frac{\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)\cdot n}+\frac{\left(n+1\right)}{n\cdot\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\cdot\left(n+1\right)}\right]=[/dispmath][dispmath]=\lim_{n\to\infty}\left[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{\left(n-1\right)}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right][/dispmath]
Uočljivo je da se ovde svi sabirci, izuzev jedinice na početku i [inlmath]\left(-\frac{1}{n+1}\right)[/inlmath] na kraju, mogu skratiti, tako da ostaje:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1[/dispmath]

Skapirao sam sve

Hvala mnogo!

Evo jedan laksi primer

Kako se radi ovako nesto?
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n+3}\right)^n[/dispmath]

Pomoću broja [inlmath]e[/inlmath].

Koristi se osobina da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e[/inlmath]
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n+3}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n}}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{3}{n}\right)^n}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{\frac{n}{3}}\right)^{\frac{n}{3}\cdot 3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{\left[\left(1+\frac{1}{\frac{n}{3}}\right)^\frac{n}{3}\right]^3}=\frac{e}{e^3}=e^{-2}[/dispmath]

Super. Hvala!