MATEMANIJA

Cao svima zeleo bih da pitam da li bi neko znao da mi objasni kako se radi ovaj limes, potrebno mi je sto pre POMAGAJTE:
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{e^{2x-x^2}\cdot\sin x\cdot\ln(1+5x)-5\cdot x^2}{x^3}[/dispmath]

Teoretski, može se uraditi i tako što se triput primeni L'Hôpital, samo što ćeš u brojiocu dobiti takve kobasice od izraza, da to zaista ne preporučujem.

Ovo mi izgleda kao jedan od onih limesa što se najlakše rade razvijanjem u Tejlorov red.

Korigovan ti je Latex – umesto * treba pisati \cdot (puta), a pre sin treba staviti \ (kako ne bi bilo prikazano [inlmath]sinx[/inlmath], već [inlmath]\sin x[/inlmath]).

Pretpostavio sam da se tako radi, medjutim dobijam razlicita resenja.. Verovatno mi je negde greska u izvodu jer je stvarno ogroman.. Hvala svakako.

Ako želiš da ti se pomogne, moraš napisati više podataka – šta dobiješ za izvode odnosno za razvoje, koja to različita rešenja dobijaš...
Na taj način ćeš nam pomoći da lociramo grešku.

Samo ako mozes da mi kazes cemu je jednako "malo o" iz razvoja:
[dispmath]e^{2\cdot x-x^2}=1+2\cdot x-x^2+\frac{\left(2\cdot x-x^2\right)^2}{2}+\frac{\left(2\cdot x-x^2\right)^3}{6}+\sigma\left(\frac{\left(2\cdot x-x^2\right)^3}{6}\right)[/dispmath]

Razvoj si dobro uradio. E sad, ako bi dopisao prvi sledeći sabirak, a to je [inlmath]\displaystyle\frac{\left(2x-x^2\right)^4}{24}[/inlmath], uočio bi da u njemu ne figurišu manji stepeni od [inlmath]x^4[/inlmath]. Samim tim, stepeni manji od [inlmath]x^4[/inlmath] neće figurisati ni u narednim sabircima. To znači da si ovim razvojem ispisao sve sabirke koji sadrže stepene [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]x^2[/inlmath] i [inlmath]x^3[/inlmath], tako da je ostatak predstavljen sa [inlmath]o\left(x^3\right)[/inlmath].

U sustini se odmah vidi da ce to biti [inlmath]o(x^3)[/inlmath] jer ce se razvijanjem tog izraza pojaviti stepeni od [inlmath]x^3[/inlmath] do [inlmath]x^6[/inlmath], a [inlmath]x^3[/inlmath] najsporije tezi nuli kad [inlmath]x\to0[/inlmath], te ce on „pokupiti“ ostale stepene.

Ako bismo hteli strogo formalno da pokazemo da je [inlmath]\displaystyle o\Bigl(\frac{(2x-x^2)^3}{6}\Bigr)=o(x^3)[/inlmath] kad [inlmath]x\to0[/inlmath], to mozemo proveriti i po definiciji (tacnije, dovoljnom uslovu)
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{o\Bigl(\frac{(2x-x^2)^3}{6}\Bigr)}{x^3}=\lim_{x\to0}\Biggl(\frac{o\Bigl(\frac{(2x-x^2)^3}{6}\Bigr)}{\frac{(2x-x^2)^3}{6}}\cdot\frac{\frac{(2x-x^2)^3}{6}}{x^3}\Biggr)=0,[/dispmath] gde prvi limes tezi nuli po samoj definiciji malog o, a drugi je konacan (i iznosi [inlmath]\frac{4}{3}[/inlmath]), pa ceo limes tezi nuli.