MATEMANIJA

[dispmath]y=\frac{x^2-4x-5}{x^2-1}[/dispmath]
Domen funkcije: [inlmath]x^2-1\ne0\to x\ne\pm1[/inlmath]
I sad kad proveravam da li je [inlmath]x=-1[/inlmath] vertikalna asimptota, dobijem [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath]
[dispmath]\lim_{x\to-1-0}\frac{x^2-4x-5}{x^2-1}=\frac{(-1-0)^2-4(-1-0)-5}{(-1-0)^2-1}=\frac{1+4-5}{1-1}=\frac{0}{0}[/dispmath] Da li ovaj rezultat znači da [inlmath]x=-1[/inlmath] nije vertikalna asimptota?
Kada sam proveravala da li je [inlmath]x=1[/inlmath] vertikalna asimptota, dobila sam [inlmath]-\infty[/inlmath]. Evo kako:
[dispmath]\lim_{x\to1-0}\frac{x^2-4x-5}{x^2-1}=\frac{(1-0)^2-4(1-0)-5}{(1-0)^2-1}=\frac{1-4-5}{1-1}=\frac{-8}{0}=-\infty[/dispmath] Ovo bi trebalo da znači da je [inlmath]x=1[/inlmath] vertikalna asimptota?
Za horizontalnu sam dobila da je [inlmath]y=1[/inlmath]:
[dispmath]y=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-4x-5}{x^2-1}={1-\frac{4}{x}-\frac{5}{x^2}\over1-\frac{1}{x^2}}=1[/dispmath]

Da pokušam da odgovorim deo po deo...

Prava [inlmath]y=1[/inlmath] jeste horizontalna asimptota ove funkcije, ili preciznije, ova prava je i leva i desna horizontalna asimptota. Ako u limes kojim si ispitala prisustvo horizontalne asimptote staviš [inlmath]x\to-\infty[/inlmath], lako ćeš dobiti i levu horizontalnu asimptotu.

Za [inlmath]x=1[/inlmath] si pravilno uradila prilaz sa desne strane. Ali pazi, funkcija može da prilazi vrednosti [inlmath]x=1[/inlmath] i sa leve strane. Funkcija nije definisana za vrednost [inlmath]x=1[/inlmath], ali jeste za vrednosti [inlmath]x[/inlmath] koje su "malo" manje od [inlmath]1[/inlmath], pa treba proveriti i prilaz sa leve strane.

Što se tiče tačke [inlmath]x=-1[/inlmath], to mi je malo klizaviji teren, pa to prepuštam iskusnijima. Ono što mogu da ti (sa priličnom sigurnošću) kažem, da činjenica da si kao rezultat dobila [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath], samo po sebi ne znači ni da funkcija ima ni da nema vertikalnu asimptotu. Ali, takav identitet rezultat ti daje mogućnost da primeniš l'Hopital-ovo pravilo (ako ste ga učili). Ako sam dobro sračunao, vrednost funkcije će tada težiti broju [inlmath]3[/inlmath]. Naravno, i ovo treba ispitati i sa leve i sa desne strane. Kada se kod ispitivanja vertikalnih asimptota dobije konačna vrednost, to znači da funkcija nema vertikalnu asimptotu u toj tački. Opet kažem, molio bih nekog iskusnijeg da ovo ispravi/dopuni.

Za kraj, nikad nije loše u ovakvim zadacima na testu/kolokvijumu/ispitu eksplicitno napisati da pošto funkcija ima i levu i desnu horizontalnu asimptotu, to znači da nema kosih asimptota. Znam da ovo može da izgleda kao "soljenje pameti" (nije mi to namera), ali postoje profesori koji jedva čekaju da skinu poene studentima i đacima.

miletrans je napisao:Za [inlmath]x=1[/inlmath] si pravilno uradila prilaz sa desne strane. Ali pazi, funkcija može da prilazi vrednosti [inlmath]x=1[/inlmath] i sa leve strane.

Zapravo, obrnuto. [inlmath]\lim\limits_{x\to1-0}[/inlmath] predstavlja limes s leve strane u tački [inlmath]x=1[/inlmath], tj. predstavlja levu vertikalnu asimptotu za [inlmath]x=1[/inlmath], a potrebno je odrediti i desnu, računanjem limesa [inlmath]\lim\limits_{x\to1+0}[/inlmath].
Inače, leva vertikalna asimptota za [inlmath]x=1[/inlmath] nije [inlmath]-\infty[/inlmath], a evo i gde je greška:

MartinaJuric je napisao:[dispmath]\lim_{x\to1-0}\frac{x^2-4x-5}{x^2-1}=\frac{(1-0)^2-4(1-0)-5}{(1-0)^2-1}=\frac{1-4-5}{\color{red}1-1}=\frac{-8}{\color{red}0}=-\infty[/dispmath]

Izraz [inlmath](1-0)^2[/inlmath] u imeniocu manji je od [inlmath]1[/inlmath], tako da se on ne sme jednostavno zameniti jedinicom. Pošto je on manji od [inlmath]1[/inlmath], ceo imenilac [inlmath](1-0)^2-1[/inlmath] biće manji od nule, što možemo obeležiti sa [inlmath]0^-[/inlmath]. Nakon toga dobijamo razlomak [inlmath]\frac{-8}{0^-}[/inlmath], a pošto su obe vrednosti negativne (u brojiocu konačna, a u imeniocu „beskonačno mala“ vrednost), vrednost celog razlomka mora biti pozitivna, dakle, [inlmath]+\infty[/inlmath].
Ostavljam ti da odrediš desnu asimptotu za [inlmath]x=1[/inlmath], pomoću limesa [inlmath]\lim\limits_{x\to1+0}[/inlmath].

---

Što se tiče [inlmath]x=-1[/inlmath], taj limes se može odrediti L'Hôpitalom, kao što je miletrans predložio, a može i faktorisanjem izraza u brojiocu i imeniocu, pri čemu će se kratiti faktor [inlmath](x+1)[/inlmath], koji je upravo i „krivac“ za taj oblik [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath], i na osnovu onog što ostane lako izračunamo limes. (Faktor [inlmath](x+1)[/inlmath], naravno, ne smemo da kratimo onda kada je [inlmath]x[/inlmath] tačno jednako [inlmath]-1[/inlmath], jer bi to onda bilo kraćenje nule nulom, ali smemo onda kada se [inlmath]x[/inlmath] približava vrednosti [inlmath]-1[/inlmath], bilo s leve, bilo s desne strane, jer taj faktor tada, iako je vrlo mali, ipak nije nula.)

L'Hôpitala nismo učili, ja sam pokušala ovako:
[dispmath]x^2-4x-5=0[/dispmath][dispmath]x_1=-1[/dispmath][dispmath]x_2=5[/dispmath][dispmath]x^2-4x-5=(x+1)(x-5)[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to-1-0}\frac{x^2-4x-5}{x^2-1}=\lim_{x\to-1-0}\frac{(x+1)(x-5)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to-1-0}\frac{\cancel{(x+1)}(x-5)}{(x-1)\cancel{(x+1)}}[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to-1-0}\frac{x-5}{x-1}=\frac{-1-0-5}{-1-0-1}=\frac{-6}{-2}=3[/dispmath] Šta znači kada dobijemo ovako konačnu vrednost a ne beskonačno?

Tačno si uradila zadatak, to je upravo ono što je predložio Daniel. Što se tiče vertikalne asimptote, ti zapravo tražiš vrednost kojoj zavisno promenljiva teži kada vrednost nezavisno promenljive teži "spornoj" tački. Ako vrednost zavisno promenljive teži beskonačnosti, stvar je jasna, našli smo vertikalnu asimptotu. Lep primer imamo ovde za [inlmath]x=1[/inlmath]. Sa druge strane, ako vrednost zavisno promenljive teži konačnoj vrednosti, onda, najprostije rečeno funkcija za tu vrednost [inlmath]x[/inlmath] nema vertikalnu asimptotu. Postoji tu nekoliko mogućnosti (da li vrednost [inlmath]y[/inlmath] teži istom broju kada prilazimo sleva i zdesna i šta se dešava kada sa prvim izvodom u toj tački). Ali, da ne razglabam previše, kada dobiješ konačnu vrednost ovog limesa, funkcija nema vertikalnu asimptotu.

Zadatak glasi:
Odrediti asimptotu krivulje:
b)
[dispmath]x^3-3axy+y^3=0[/dispmath] (descartesov list)

Zadatak glasi:
Odrediti asimptotu krivulje:
[dispmath]y=\frac{x^2+5x+4}{-x^2-3x-2}[/dispmath]
Hvala puno,pozdrav.

Kao prvo, dobrodošlica na forum.

Kao drugo, daj neki pokušaj ili komentar oko ovih zadataka. Znaš li kako se traže asimptote funkcije? Da li je ovo samo deo zadatka koji glasi "ispitati tok i nacrtati grafik funkcije"? U prethodnim postovima imaš prilično detaljan opis postupka za traženje horizontalne i vertikalne asimptote, a siguran sam da na forumu postoji slično opisan postupak i za kose asimptote. Pokušaj da primeniš ovaj postupak na racionalnu funkciju, pa ako bude problem, reci, uradićemo. Ali, obavezno navedi gde je problem.

Kao treće, novi zadatak, nova tema.

@Anna123, jedan post ti je već uklonjen zbog kršenja tačaka 6. i 10. Pravilnika, na koje ti je tom prilikom i skrenuta pažnja, ali ih opet ignorišeš.
Temu zato zaključavam, uz upozorenje da učestalo kršenje forumskih pravila povlači isključenje s foruma.