MATEMANIJA

Evo jednog pitanja. Trenutno sam pri kraju s jednim grafom, preostaje mi još odrediti kose asimptote. Međutim, tu dolazi do problema jer ne znam riješit izraz na slici. Rješenje bi trebalo biti [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath].

Na slici je malo glupo poredano, računaj kao da piše gore korijen iz [inlmath]x^3-x^2[/inlmath] kroz [inlmath]x-2[/inlmath] pa nakon toga [inlmath]-x[/inlmath]. Ali isto je Ovakvo nešto smo imali u zadatku na prvoj strani teme, ali mi ni tamo nije bilo skroz jasno kako smo dobili rješenje. Vjerojatno će se iz brojnika izlučiti [inlmath]x^2[/inlmath], pa će to biti signum funkcija, a pošto nama teži u [inlmath]+\infty[/inlmath] napisat ćemo [inlmath]x[/inlmath]. Potom [inlmath]x[/inlmath] možemo izlučiti, ali kako dalje nakon izlučivanja?
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\left(-x+\frac{\sqrt{-x^2+x^3}}{-2+x}\right)[/dispmath]

Verovatno se tu koristi izraz za razliku kvadrata, tj.
[dispmath]a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}[/dispmath]
Nisam siguran, ovo sad govorim napamet, trenutno ti odgovaram na ono pitanje u vezi s grafom funkcije. Kasnije ću pogledati ovo detaljnije.

Ne, nema šanse da se za ovaj limes dobije konačna vrednost. Ovako kako je zadatak postavljen, dobije se da je limes jednak [inlmath]-\infty[/inlmath]. Može i kosa asimptota da se odredi.

Biće da nisi dobro postavio izraz za kosu asimptotu?

Inače, evo kako sam računao:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\left(-x+\frac{\sqrt{x^3-x^2}}{x-2}\right)=\lim_{x\to\infty}\left(-x+\frac{\sqrt{x^2}\sqrt{x-1}}{x-2}\right)=\lim_{x\to\infty}\left(-x+\frac{x\sqrt{x-1}}{x-2}\right)=[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{x\to\infty}x\left(\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}-1\right)=\lim_{x\to\infty}x\left(\frac{\sqrt{x-1}-x+2}{x-2}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x-1}-x+2}{1-\frac{2}{x}}=[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x-1}-x+2\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{x-1-\left(x-2\right)^2}{\sqrt{x-1}+x-2}=\lim_{x\to\infty}\frac{-x^2+5x-5}{\sqrt{x-1}+x-2}=[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{x\to\infty}x\frac{-x+5-\frac{5}{x}}{\sqrt{x-1}+x-2}=\lim_{x\to\infty}x\frac{-1+\frac{5}{x}-\frac{5}{x^2}}{\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}+1-\frac{2}{x}}=-\lim_{x\to\infty}x=-\infty[/dispmath]

Trebao bi mi što precizniji i po mogućnosti razumljiviji odgovor na pitanje

Kako možemo naći limes
[dispmath]\lim_{x \to \infty}\frac{\sin x}{x}[/dispmath]
može i pokoji dokaz ukoliko ima potrebe

Kada [inlmath]x\to\infty[/inlmath], brojilac ovog razlomka, [inlmath]\sin x[/inlmath], ne teži nekoj određenoj vrednosti, već osciluje između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Ali, uvek je u tom intervalu, prema tome, uvek ima neku konačnu vrednost.
S druge strane, imenilac, [inlmath]x[/inlmath], teži beskonačnosti, pa imamo deljenje neke konačne veličine beskonačnom veličinom, a to je, naravno, nula.
Prema tome, [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0[/inlmath].