Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Izračunati graničnu vrednost niza

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Izračunati graničnu vrednost niza

Postod Frank » Sreda, 13. Maj 2020, 17:14

Naći graničnu vrednost
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n+1}{1+3+5+\cdots+(2n-1)}[/dispmath] Rešenje je [inlmath]1[/inlmath].
U ovom zadatku imam problem da izračunam vrednost aritmetičkog niza. Prvi član je jedan, a poslednji [inlmath]2n-1[/inlmath], ali ne znam da odredim broj članova niza. Ako iskoristim formulu [inlmath]a_n=a_1+(n-1)d[/inlmath] dobijem da je [inlmath]0=0[/inlmath]. Gde je greška? Hvala!
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Izračunati graničnu vrednost niza

Postod primus » Četvrtak, 14. Maj 2020, 04:02

Ovaj zadatak može da se uradi primenom formule za zbir prvih [inlmath]n[/inlmath] prirodnih brojeva.
Prvo odredimo sumu koja se nalazi u imeniocu: [inlmath]\displaystyle\sum_{k=1}^n(2k-1)=\sum_{k=1}^n2k-\sum_{k=1}^n1=2\cdot\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^n1=\cancel2\cdot\frac{n(n+1)}{\cancel2}-n=n^2+n-n=n^2[/inlmath]
Zatim odredimo limes:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n+1}{1+2+3+\cdots+(2n-1)}=[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n+1}{n^2}=[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{1+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}+\cancelto{0}{\frac{1}{n^2}}}{1}=[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}1=[/dispmath][dispmath]1[/dispmath]
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

  • +1

Re: Izračunati graničnu vrednost niza

Postod Daniel » Četvrtak, 14. Maj 2020, 06:57

Frank je napisao:U ovom zadatku imam problem da izračunam vrednost aritmetičkog niza. Prvi član je jedan, a poslednji [inlmath]2n-1[/inlmath], ali ne znam da odredim broj članova niza.

Ako svaki od članova niza u imeniocu napišemo na sledeći način,
[dispmath]a_1=1=2\cdot{\color{red}1}-1\\
a_2=3=2\cdot{\color{red}2}-1\\
a_3=5=2\cdot{\color{red}3}-1\\
\vdots\\
a_n=2{\color{red}n}-1[/dispmath] mislim da je onda više nego očigledno da je broj članova niza u imeniocu jednak [inlmath]n[/inlmath].

Frank je napisao:Ako iskoristim formulu [inlmath]a_n=a_1+(n-1)d[/inlmath] dobijem da je [inlmath]0=0[/inlmath]. Gde je greška? Hvala!

Nisam razumeo kako si došao do [inlmath]0=0[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Izračunati graničnu vrednost niza

Postod Frank » Četvrtak, 14. Maj 2020, 07:18

[dispmath]2n-1=1+(n-1)\cdot2[/dispmath] Kad malo bolje pogledam i ova formula govori upravo ono što si ti zaključio, da je broj članova [inlmath]n[/inlmath]. Mozda bi bolje bilo da sam na desnoj strani umesto [inlmath]n[/inlmath], pisao, na primer, [inlmath]x[/inlmath]. Dobio bih da je [inlmath]x=n[/inlmath], što se svodi na isto.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta


Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 23 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 09:39 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs