Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Granična vrednost niza

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Granična vrednost niza

Postod Frank » Četvrtak, 14. Maj 2020, 13:44

Zdravo svima! Imam problem sa sledećim zadatkom - Izračunati
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)[/dispmath] Uspeo sam malo da sredim činioce, brojilac napišem kao razliku kvadrata, a imenilac kao proizvod dva ista broja.
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{(2-1)(2+1)}{2\cdot2}\cdot\frac{(3-1)(3+1)}{3\cdot3}\cdots\frac{(n-1)(n+1)}{n\cdot n}[/dispmath] Sad nemam nikakvu ideju kako da sredim ovo, pa molim za neku ideju. Hvala unapred!
Rešenje zadatka je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath].
Frank   ONLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Granična vrednost niza

Postod primus » Četvrtak, 14. Maj 2020, 15:42

[dispmath]\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\prod_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\\
=\prod_{k=2}^n\left(\frac{k-1}{k}\right)\left(\frac{k+1}{k}\right)=\prod_{k=2}^n\left(\frac{k-1}{k}\right)\cdot\prod_{k=2}^n\left(\frac{k+1}{k}\right)[/dispmath][dispmath]\prod_{k=2}^n\left(\frac{k-1}{k}\right)=\frac{1\cdot\cancel2\cdot\cancel3\cdots\cancel{(n-1)}}{\cancel2\cdot\cancel3\cdots\cancel{(n-1)}\cdot n}=\frac{1}{n}[/dispmath][dispmath]\prod_{k=2}^n\left(\frac{k+1}{k}\right)=\frac{\cancel3\cdot\cancel4\cdot\cancel5\cdots\cancel{n}\cdot(n+1)}{2\cdot\cancel3\cdot\cancel4\cdots\cancel{(n-1)}\cdot\cancel{n}}=\frac{n+1}{2}[/dispmath][dispmath]\prod_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{n+1}{2n}[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{2}=\frac{1}{2}[/dispmath]
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Granična vrednost niza

Postod Frank » Četvrtak, 14. Maj 2020, 15:50

Hvala ti puno primus na uloženom trudu i vremenu koje si izdvojio da bi mi pomogao, ali ja zaista ne razumem ovaj tvoj postupak. Ne znam kada se radi ovo gradivo, nisam se još susretao. Jos jednom, hvala!
Frank   ONLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Granična vrednost niza

Postod Daniel » Četvrtak, 14. Maj 2020, 17:00

Možda te zbunuju ove oznake za proizvod? Može i bez njih. Ti si savim lepo krenuo, i došao si do koraka
Frank je napisao:[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{(2-1)(2+1)}{2\cdot2}\cdot\frac{(3-1)(3+1)}{3\cdot3}\cdots\frac{(n-1)(n+1)}{n\cdot n}[/dispmath]

pa hajde onda da nastavimo. Kako bi bilo očiglednije šta se ovde dešava, napišimo još po jedan sabirak pre i posle trotačke:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{(2-1)(2+1)}{2\cdot2}\cdot\frac{(3-1)(3+1)}{3\cdot3}\cdot\frac{(4-1)(4+1)}{4\cdot4}\cdots\frac{\bigl((n-1)-1\bigr)\bigl((n-1)+1\bigr)}{(n-1)\cdot(n-1)}\cdot\frac{(n-1)(n+1)}{n\cdot n}[/dispmath] i sada sračunajmo ove zbirove i razlike:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{1\cdot3}{2\cdot2}\cdot\frac{2\cdot4}{3\cdot3}\cdot\frac{3\cdot5}{4\cdot4}\cdots\frac{(n-2)\cdot n}{(n-1)\cdot(n-1)}\cdot\frac{(n-1)(n+1)}{n\cdot n}[/dispmath] I, šta vidimo? Vidimo da u svakom razlomku (izuzev prvog) prvi broj u brojiocu možemo skratiti s jednim od brojeva u imeniocu prethodnog razlomka; takođe, u svakom razlomku (izuzev poslednjeg) drugi broj u brojiocu možemo skratiti s jednim od brojeva u imeniocu sledećeg razlomka. Nakon ovog „masakra“, ostaće nam relativno lep izraz, čiji limes nije problem pronaći (što je primus i učinio).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 29 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 15:43 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs